Một phiên bản kết hợp cho phỏng đoán Hirsch đa thức

Xem xét gia đình rời nhau của các tập con của {1,2, ..., n}, . $t$ ${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

Giả sử rằng

(*)

Đối với mỗi và mỗi và , có chứa . $i \lt j \lt k$ $R \in {\cal F}_i$ $T \in {\cal F}_k$ $S \in {\cal F}_j$ $R \cap T$

Câu hỏi cơ bản là:

Làm thế nào lớn t có thể được ???

Những gì được biết

Giới hạn trên được biết đến nhiều nhất là đa thức . $t \le n^{\log n+1}$

Giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất là (tối đa một yếu tố logarit) bậc hai.

Bối cảnh trừu tượng này được lấy từ Đường kính giấy của Polyhedra: Giới hạn trừu tượng của Friedrich Eisenbrand, Nicolai Hähnle, Sasha Razborov và Thomas Rothvoss . Giới hạn dưới bậc hai cũng như bằng chứng về giới hạn trên có thể được tìm thấy trong bài báo của họ.

Động lực

Mọi giới hạn trên sẽ áp dụng cho đường kính của đồ thị của đa giác d chiều với n mặt. Để xem liên kết này với mọi đỉnh , tập của các mặt chứa nó. Sau đó bắt đầu từ một đỉnh cho là tập hợp tương ứng với các đỉnh của đa giác có khoảng cách từ . $v$ $S_v$ $w$ ${\cal F}_r$ $r+1$ $w$

Hơn

Vấn đề này là vấn đề của polymath3 . Nhưng tôi nghĩ nó có thể hữu ích để trình bày nó ở đây và trên MO mặc dù nó là một vấn đề mở. Nếu dự án sẽ dẫn đến các bài toán con cụ thể, tôi (hoặc những người khác) cũng có thể thử hỏi họ.

(Cập nhật; ngày 5 tháng 10 :) Một vấn đề cụ thể được đặc biệt quan tâm là hạn chế sự chú ý đến các bộ kích thước d. Đặt f (d, n) là giá trị tối đa của t khi tất cả các bộ trong tất cả các gia đình có kích thước d. Đặt f * (d, n) là giá trị tối đa của t khi chúng ta cho phép nhiều kích thước d. Hiểu f * (3, n) có thể rất quan trọng.

Vấn đề: f * (3, n) có hành vi như 3n hay 4n không?

$2^{d-1}$

— Gil Kalai
nguồn

Phỏng đoán Hirsch, wikipedia

— vzn

có vẻ như phỏng đoán này sẽ rất dễ kiểm chứng với & thậm chí có thể nhạy cảm với cách tiếp cận tính toán / thực nghiệm / thử nghiệm bằng phương pháp monte carlo. có ai đã thử chưa?

— vzn

lại lý do tiền thưởng mới của bạn "các câu trả lời hiện tại đã lỗi thời & yêu cầu sửa đổi với những thay đổi gần đây" có vẻ như bạn có điều gì đó đặc biệt trong tâm trí ...? bài báo năm 2013 Tiến bộ gần đây về Đường kính của khối đa diện và các phức hệ đơn giản của Santos nói rằng phỏng đoán Hirsch là "hiện đã bị từ chối".

— vzn

Vzn thân mến, Đây là một loại trò đùa: bất kỳ tuyên bố nào về các câu trả lời hiện tại đều đúng nếu không có câu trả lời.

— Gil Kalai

$t$ $n$ $d$ $3^{2^n}$ $f$ từ vài giá trị đầu tiên của nó. Chúng tôi cũng chưa nghiên cứu tất cả các ý kiến của các chủ đề trước đó một cách chi tiết, vì vậy một số điều này có thể đã được biết - về cơ bản chúng tôi rất vui khi làm cho mã của mình nhanh và muốn đăng kết quả của chúng tôi ở đâu đó, nếu tôi có môi trường LaTeX hoạt động, tôi sẽ có đưa cái này lên ArXiV.

Mã (không chính xác là mã sản xuất ...): http://pastebin.com/bSetW8JS . Giá trị:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $A \in {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

$\sim$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ . Các thuật toán lập trình động tiếp theo là rõ ràng. Số lượng các lớp tương đương (cùng với thời gian được thực hiện bởi hai thao tác trên) sau đó đưa ra một ràng buộc về thời gian chạy của thuật toán lập trình động rõ ràng.

$A$ $\{ 1, \dots, n \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$ $1 \leq i \leq j \leq n$ $(i, j)$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $B$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $(i, j)$ $j < t - 1$ $A$ $\sim$ $B$ $C \in {\cal F}_t$ $D \in {\cal F}_{t+1}$ $B \cap C \subseteq D$ $3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$ ${1, \dots, i}$ ${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$ ${\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_3$ có thể dẫn đến tiết kiệm quyết liệt hơn.

— Alex mười Brink
nguồn