Thuật toán hiệu quả cho sự tồn tại của hoán vị với trình tự khác biệt?

Câu hỏi này được thúc đẩy bởi bài đăng này, Bạn có thể xác định tổng của hai hoán vị trong thời gian đa thức? và mối quan tâm của tôi đối với các tính chất tính toán của hoán vị.

Chuỗi khác biệt của hoán vị của các số được hình thành bằng cách tìm sự khác biệt giữa mỗi hai số liền kề trong hoán vị . Nói cách khác,cho$a_1, a_2, \ldots a_n$$\pi$$1, 2, \ldots n+1$$\pi$$a_i= |\pi(i+1)-\pi(i)|$$1 \le i \le n$

Ví dụ: dãy là chuỗi khác biệt của hoán vị . Trong khi, các chuỗi và không phải là chuỗi khác biệt của bất kỳ hoán vị nào của các số .$1, 1, 3$$2 3 4 1$$2, 2, 3$$3, 1, 2$$1, 2, 3, 4$

Có một thuật toán hiệu quả để xác định xem một chuỗi đã cho là chuỗi khác biệt cho một số hoán vị hay là NP-hard?$\pi$

EDIT : Chúng tôi nhận được vấn đề tương đương tính toán nếu chúng tôi xây dựng vấn đề bằng cách sử dụng hoán vị vòng tròn.

EDIT2 : Cross được đăng trên MathOverflow, Làm thế nào khó để tái tạo một hoán vị từ chuỗi khác biệt của nó?

EDIT3 đã trao tặng tiền thưởng cho bản phác thảo bằng chứng và tôi sẽ chấp nhận câu trả lời sau khi có được bằng chứng chính thức hoàn chỉnh.

EDIT 4 : Bằng chứng completity đẹp của Marzio đã được công bố trên Tạp chí điện tử kết hợp .$NP$

Đây là bản phác thảo về khả năng giảm để chứng minh rằng đó là NP-hard:

1) subsequences làm bằng 1s (ví dụ . . 0,11111 . . . ) (Tôi gọi họ là 1SEQ) buộc một dãy tăng hoặc con số trong hoán vị giảm;$a_i$$...11111...$

2) nếu giá trị được đặt trong 1SEQ dài, nó sẽ buộc một lỗ (một số bị thiếu) và không thay đổi hướng của 1SEQ. Ví dụ: 1112112111 buộc hai lỗ:$2$$1112112111$

 a_i seq.:     1 1 1  2  1 1  2   1  1  1  forces
 permutation: 1 2 3 4 _ 6 7 8 _ 10 11 12 13 (or its decreasing equivalent)
 (from 4 you cannot go back to 2,
 from 8 you cannot go back to 6)

Các lỗ phải được lấp đầy trong phần còn lại của hoán vị.

3) sử dụng 1SEQ đủ lớn, tiếp theo là 1SEQ với một số lỗ hổng, tiếp theo là 1SEQ lớn khác, bạn có thể xây dựng một đường bắt buộc ;

4) kết hợp nhiều đường cưỡng bức, bạn có thể xây dựng một biểu đồ lưới hoán vị trong đó các nút tương ứng với các số bị thiếu trong hoán vị cưỡng bức cơ bản.

Ví dụ: chuỗi 111111111211111111111211111111, buộc biểu đồ lưới hoán vị 5x7 sau đây:

29 30 31 32 33 34 35
22 23 24    26 27 28
15 16 17 18 19 20 21
 8  9 10    12 13 14   
 1  2  3  4  5  6  7

$w \times w$$a,b$$|a-b|=kw$

$G$

$G$$G$

7) bạn có thể lấp đầy tất cả các lỗ (nghĩa là hoàn thành hoán vị) khi và chỉ khi biểu đồ lưới ban đầu có chu trình Hamilton

EDIT: tháng 7, 27 năm 2013

Tôi đã cố gắng chính thức chứng minh tính hoàn chỉnh của NP của vấn đề: Tôi đã giới thiệu một vấn đề mới (vấn đề Crazy Frog ) đó là NPC. Sự tái cấu trúc cho phép từ sự khác biệt tương đương với "vấn đề Ếch điên 1-D mà không có các ô bị chặn" (cũng là NPC).

Để biết chi tiết về việc giảm, hãy xem câu hỏi / câu trả lời của tôi về cstheory "Hai biến thể đường dẫn Hamilton" hoặc tải xuống bản nháp của bằng chứng "Khi một con ếch gặp hoán vị" :)) (Tôi vẫn đang kiểm tra / hoàn thành nó)