Chuyển đổi Beigel-Tarui của cricuits ACC

Tôi đang đọc phần phụ lục về giới hạn thấp hơn của ACC cho NEXP trong cuốn sách Tính phức tạp tính toán của Arora và Barak . http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf Một trong những bổ đề quan trọng là sự chuyển đổi từ $ACC^{0}$ mạch để đa thức đa tuyến so với số nguyên với độ polylogarithmic và hệ số quasipolynomial, hoặc tương đương , lớp mạch $SYM^{+}$ , là lớp có độ sâu hai mạch có nhiều cổng AND ở cấp độ thấp nhất với quạt đa âm và cổng đối xứng ở cấp cao nhất.

Trong phần phụ lục của sách giáo khoa, phép biến đổi này có ba bước, giả sử rằng bộ cổng bao gồm OR, mod $2$ , mod $3$ và hằng số $1$ . Bước đầu tiên là giảm quạt vào cổng OR theo thứ tự đa bội.

Sử dụng Valiant-Vazirani Isolation Bổ đề, các tác giả được sự thoả rằng đưa ra một cổng OR hơn $2^{k}$ đầu vào có dạng $OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$ , nếu chúng ta chọn $h$ trở thành một cặp hàm băm độc lập , từ $[2^{k}]$ đến $\{ 0,1 \}$ , sau đó với mọi giá trị khác không $x \in \{0,1\}^{2^{k}}$ , với xác suất ít nhất là $1/(10k)$ nó sẽ giữ$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$ .

Không phải là khả năng $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$ ít nhất là $1/2$ ? Dường như $1/10k$ là một yếu thấp hơn ràng buộc.

Bước thứ hai là di chuyển đến các cổng số học và đẩy các phép nhân xuống. Trong bước này, chúng ta sẽ chuyển đổi các mạch Boolean với một chuỗi đầu vào nhị phân đã cho thành một mạch số học với một đầu vào số nguyên.

Ở đây họ lưu ý rằng $OR(x_{1},...,x_{k})$ được thay thế bằng $1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$ , và $MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ được thay thế bằng $(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$ sử dụng Định lý nhỏ của Fermat.

Tại sao sự thay thế này cho một mạch tương đương ?$SYM^{+}$

Không phải là xác suất của ít nhất là 1/2? Có vẻ như1 / (10k)là giới hạn dưới yếu.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

Trong thực tế, câu trả lời là không. (Nó sẽ là tổ chức với xác suất ít nhất 1 / 2 - ε , nếu chúng tôi đã làm việc với một ε gia đình băm -biased, và thực sự sử dụng ε băm -biased chức năng đưa ra một cách để cải thiện các thông số của công trình. Nhưng cặp độc lập không nhất thiết phải là ε -biased.)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

Có vẻ như họ đang thiếu một bước bổ sung ở đây. Để áp dụng trực tiếp Valiant-Vazirani, bạn cũng cần chọn ngẫu nhiên phạm vi của hàm băm. Hơn là chọn mỗi ngẫu nhiên cặp độc lập , có vẻ như bạn nên chọn ngẫu nhiên ℓ ∈ { 2 , ... , k + 1 } và sau đó chọn ngẫu nhiên cặp độc lập h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$. (Ở đây tôi đang cố tình sử dụng tuyên bố Arora-Barak của Valiant-Vazirani, được tìm thấy trên trang 354.) Hãy là số x i = 1 . Valiant-Vazirani nói rằng khi bạn đã chọn ℓ như vậy mà 2 ℓ - 2 ≤ s ≤ 2 ℓ - 1 , sau đó xác suất mà Σ i : h ( i ) = 1 x i = 1 (! So với số nguyên) là ít nhất 1 / 8 .$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

Vì vậy, bằng cách chọn ngẫu nhiên và chọn cặp ngẫu nhiên độc lập h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } ℓ , sau đó bạn có xác suất ít nhất 1 / ( 8 k ) rằng Σ i : h (số họ là logarit trong 2 k , sau khi tất cả), do đó xác suất thành công sẽ trở thành ít nhất 1 / 8 một lần nữa. Vì vậy, thay vì có O ( k log s $\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$. Để mô phỏng sự lựa chọn ngẫu nhiên củaℓtrong mạch, bạn chỉ có thể lấyORkhắp nơi có thể$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$ hàm băm với phạm vi , bạn sẽ muốn O ( k ) các hàm băm khác nhau (mỗi bộ có một phạm vi khác nhau), với các hàm băm O ( log s ) trong mỗi bộ.$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$

Tại sao sự thay thế này cung cấp một mạch SYM + tương đương?

Một mạch SYM của AND (tức là SYM +) có kích thước về cơ bản tương đương với việc có đa thức đa biến h : { 0 , 1 } n → { 0 , giật , K } với hầu hết các đơn thức K , bảng tra cứu g : { 0 , Lọ , K } → { 0 , 1 } và tính toán g ( h ( x 1 , Mạnh , x n$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$ . (Ví dụ, một bằng chứng có thể được tìm thấy trong Beigel-Tarui.) Trực giác là mỗi đơn thức trong f là một cổng AND và g là cổng SYM. Tôi nói "về cơ bản là tương đương" bởi vì đa thức h đa tuyếncũng có thể có hệ số âm cho một số thuật ngữ và hệ số âm rõ ràng không thể thực hiện được trong SYM của AND. Nhưng tôi khẳng định (và Beigel và Tarui tuyên bố) rằng đây không phải là vấn đề. Hãy suy nghĩ về nó :)$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$$g$$h$