Làm thế nào khó để đếm số lượng tối ưu cục bộ cho một vấn đề trong PLS?

Đối với một vấn đề tìm kiếm cục bộ đa thức , chúng tôi biết rằng ít nhất một giải pháp (tối ưu cục bộ) phải tồn tại. Tuy nhiên, còn nhiều giải pháp nữa có thể tồn tại, việc đếm số lượng giải pháp cho một vấn đề hoàn chỉnh PLS khó đến mức nào? Tôi đặc biệt quan tâm đến vấn đề quyết định: ví dụ về vấn đề hoàn thành PLS này có hai hay nhiều giải pháp không?

Sự phức tạp có phụ thuộc vào vấn đề hoàn thành PLS nào mà chúng ta chọn không? Nếu vậy thì tôi sẽ đặc biệt quan tâm đến 2SAT có trọng số (như được định nghĩa trong [SY91] và [Rou10]). Tôi biết rằng việc đếm số lượng giải pháp thỏa mãn cho 2SAT là # P-đầy đủ, nhưng thoạt nhìn có vẻ như tối ưu cục bộ của 2SAT có trọng số và các giải pháp cho 2SAT không có nhiều điểm chung.

Tôi cũng biết rằng đối với PPAD anh em họ của PLS, [CS02] cho thấy việc đếm số lượng cân bằng Nash là # P-hard. Điều này cho thấy rằng các vấn đề PLS tương tự như đếm số lượng cân bằng chiến lược thuần túy trong các trò chơi tắc nghẽn, cũng sẽ khó khăn.

Người giới thiệu

[CS02] Conitzer, V. và Sandholm, T. (2002). Kết quả phức tạp về cân bằng Nash. IJCAI-03 . cs / 0205074 .

[Rou10] T. Roughgarden. (2010). Cân bằng điện toán: Một phối cảnh phức tạp tính toán. Lý thuyết kinh tế , 42: 193-236.

[SY91] AA Schaeffer và M. Yannakakis. (1991). Vấn đề tìm kiếm địa phương đơn giản mà khó giải quyết. Tạp chí SIAM về máy tính , 20 (1): 56-87.

Tôi có thể trả lời một phần câu hỏi của bạn: đếm tối ưu cục bộ của vấn đề tìm kiếm hoàn chỉnh PLS thực sự có thể là # P-hard.

Đầu tiên, như Yoshio chỉ ra, có một vấn đề tìm kiếm trong PLS có vấn đề đếm liên quan là # P-Complete. ( Tuy nhiên, chúng tôi không biết P 1 có hoàn thành PLS hay không.) Hãy để P 2 là một số vấn đề hoàn thành PLS. Sau đó, xác định P ′ , trên đầu vào ( x , i ) cho i ∈ { 1 , 2 } , yêu cầu tối ưu cục bộ cho đầu vào x đối với P i . Vấn đề này kế thừa tư cách thành viên PLS của P 1 , P $P_1$$P_1$$P_2$$P'$$(x, i)$$i \in \{1, 2\}$$x$$P_i$$P_1, P_2$, kế thừa tính đầy đủ PLS của và đối với bài toán đếm kế thừa tính hoàn chỉnh # P của P 1 .$P_2$$P_1$

Tương tự, người ta có thể xây dựng một vấn đề hoàn chỉnh PLS (nhân tạo) mà NP-hoàn thành để quyết định xem có nhiều hơn một tối ưu cục bộ hay không. Như trong tranh luận trước đây, một "mặt hàng chủ lực với nhau" một PLS động hoàn tất vấn đề như trước đây, với một vấn đề PLS P 2 mà, trên đầu vào một công thức Boolean ψ , có nhiều hơn một tối ưu địa phương liên quan iff ψ là satisfiable.$P_1$$P_2$$\psi$$\psi$

Các loại công trình này có phần không thỏa mãn vì chúng tôi đang cố gắng xây dựng một vấn đề tìm kiếm có hai thuộc tính độ cứng, nhưng miền của Q "tách" thành hai phần, mỗi phần có thể chỉ có một trong hai thuộc tính. Dưới đây tôi sẽ trình bày cách đưa ra vấn đề tìm kiếm P 1 trong PLS có vấn đề đếm liên quan là # P-hoàn thành và đưa ra vấn đề PLS hoàn thành P 2 , người ta có thể xác định vấn đề PLS Q khó như cả hai đều tính P 1 và tìm kiếm P 2 theo kiểu "cá thể".$Q$$Q$$P_1$$P_2$$Q$$P_1$$P_2$

Cụ thể, chúng tôi sẽ trình bày để giải quyết vấn đề đếm cho P 1 trên đầu vào x giúp giảm hiệu quả giải quyết vấn đề đếm cho Q trên đầu vào x và vấn đề tìm kiếm cho P 2 trên đầu vào x giảm cho vấn đề tìm kiếm cho Q trên đầu vào x .$Q$$P_1$$x$$Q$$x$$P_2$$x$$Q$$x$

Để đơn giản trình bày, chúng tôi giả định là như vậy mà trên bất kỳ đầu vào x có độ dài n , không gian ứng cử viên-giải pháp kết hợp với x là trên bitstrings y có độ dài n c đối với một số c (nhưng với các cấu trúc khu vực khác nhau cho P 1 , P 2 ). Đặt F i ( x , y ) là hàm tập thể dục liên quan đến P i .$P_1, P_2$$x$$n$$x$$y$$n^c$$c$$P_1, P_2$$F_i(x, y)$$P_i$

Trên đầu vào , không gian tìm kiếm cho Q vượt quá các tuples ( y 1 , y 2 , z , b ) trong đó mỗi y i nằm trong { 0 , 1 } n c , z ∈ { 0 , 1 } n c + 1 và b ∈ { 0 , 1 $x \in \{0, 1\}^n$$Q$$(y^1, y^2, z, b)$$y^i$$\{0, 1\}^{n^c}$$z \in \{0, 1\}^{n^c + 1}$$b \in \{0, 1\}$. Là hàm tập thể dục cho Q , chúng tôi xác định$F(x, (y^1, y^2, z, b))$$Q$

nếu b = 1 , $F(x, (y^1, y^2, z, b)) := F_1(x, y^1) + F_2(x, y^2)$$b = 1$

nếu b = 0 .$F(x, (y^1, y^2, z, b)) := ||y^1|| + ||z|| + F_2(x, y^2)$$b = 0$

(Đó là trọng lượng Hamming ở trên.)

Đối với cấu trúc lân cận của , chúng tôi kết nối từng bộ ( x , ( y 1 , y 2 , z , 1 ) ) (với b = 1 ) với tất cả các bộ ( x , ( ( y ′ ) 1 , ( y ′ ) 2 , z ′ , 1 ) ) sao cho$Q$$(x, (y^1, y^2, z, 1))$$b = 1$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 1))$

(A) được kết nối với ( x , ( y ′ ) i ) theo P i cho i = 1 , 2 , AND$(x, y^i)$$(x, (y')^i)$$P_i$$i = 1, 2$

(B) khác nhau nhiều nhất là 1 tọa độ.$z, z'$

Đối với bộ dữ liệu với , chúng tôi kết nối ( x , ( y 1 , y 2 , z , 0 ) ) đến tất cả các bộ ( x , ( ( y ' ) 1 , ( y ' ) 2 , z ' , 0 ) ) như vậy cái đó$b = 0$$(x, (y^1, y^2, z, 0))$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 0))$

(A ') được kết nối với ( x , ( y ′ ) 2 ) theo P 2 , AND$(x, y^2)$$(x, (y')^2)$$P_2$

(B ') khác nhau về nhiều nhất là 1 phối hợp, cũng như y 1 , ( y ' ) 1 .$z, z'$$y^1, (y')^1$

(Lưu ý, các bộ dữ liệu có bị ngắt kết nối với các bộ có b = 1. )$b = 0$$b = 1$

Đó là định nghĩa của . Các vùng lân cận có kích thước đa thức theo yêu cầu, vì vậy Q nằm trong PLS. $Q$$Q$

Khẳng định: Các Optima địa phương cho length- đầu vào x theo Q được chính xác hai bộ rời nhau sau:$n$$x$$Q$

(1) tất cả các bộ dữ liệu , trong đó ( x , y i ) là tối ưu cục bộ của P i cho mỗi i = 1 , 2 (và z là tùy ý và b = 1 ); và,$(x, (y^1, y^2, z,1))$$(x, y^i)$$P_i$$i = 1, 2$$z$$b = 1$

$(x, 1^{n^c}, y^2, 1^n, 0))$$(x, y^2)$$P_2$$z, y^1$$b = 0$

$Q$$(x, (y^1, y^2, z,b))$$Q$$x$$(x, y^2)$$P_2$$x$$P_2$

$N(x)$$x$$Q$$(2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$N_i(x)$$x$$P_i$$N_2(x)$$[1, 2^{n^c}]$

$N_2(x) = N_2(x)$$2^{n^c + 1} = (2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$2^{n^c + 1} = N(x)$$2^{n^c + 1}$

$N_2(x)$$N(x)$$N_1(x)$$N_1(x) = \left(\frac{N(x)}{N_2(x)} - 1\right)/2^{n^c + 1}$$N_1(x)$$N(x)$$Q$$P_1$$Q$

Tôi không biết làm thế nào để giảm bớt như vậy khi kết hợp độ cứng PLS với độ cứng NP để quyết định tính duy nhất của tối ưu cục bộ theo kiểu "ví dụ".

$V(x, y)$$L$

$Q$$Q$

Xem xét vấn đề khớp tối đa trong đồ thị lưỡng cực. Nhóm các giải pháp khả thi bao gồm tất cả các kết quả khớp và tìm kiếm cục bộ được thực hiện thông qua việc tìm các đường dẫn tăng. Vấn đề thuộc về PLS do đường dẫn tăng có thể được tìm thấy trong thời gian đa thức nếu một kết quả khớp hiện tại không tối đa và có thể kiểm tra tối đa trong thời gian đa thức. Bất kỳ tối ưu cục bộ nào cũng là một kết hợp tối đa (nghĩa là tối ưu toàn cầu). Tuy nhiên, thật khó để tính toán số lượng khớp tối đa trong biểu đồ lưỡng cực.

Vì tối ưu cục bộ có thể được tìm thấy trong thời gian đa thức, nên vấn đề không chắc là hoàn thành PLS. Vì vậy, tôi e rằng đây không phải là câu trả lời có chủ đích (câu hỏi của bạn giới hạn các vấn đề hoàn thành của PLS). Tuy nhiên, tôi nên chỉ ra rằng việc đếm số lượng tối ưu cục bộ có thể khó khăn mặc dù có thể tìm thấy một cách tối ưu cục bộ một cách hiệu quả.