Hàm Boolean không đổi trên các không gian con affine có kích thước đủ lớn

Tôi quan tâm đến một hàm Boolean rõ ràng với thuộc tính sau: nếu không đổi trên một không gian con affine của , thì kích thước của không gian con này là .$f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$$f$ o ( n $\\{0,1\\}^n$$o(n)$

Không khó để chỉ ra rằng một hàm đối xứng không thỏa mãn tính chất này bằng cách xem xét một không gian con . Bất kỳ cũng có chính xác 'và do đó không đổi không gian con có kích thước .$A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$n / 2 1 f A n /$x \in A$$n/2$ $1$$f$$A$$n/2$

Bài đăng chéo: /mathpro/41129/a-boolean-feft-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dample

Các đối tượng bạn đang tìm kiếm được gọi là các bộ phân tán affine không hạt với một bit đầu ra. Tổng quát hơn, bộ phân tán không hạt có một bit đầu ra cho một họ các tập con của là một hàm sao cho trên mọi tập con , hàm không phải là hằng số. Ở đây, bạn quan tâm đến việc là họ của không gian con affine { 0 , 1 } n f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } S ∈ F f $\mathcal{F}$$\{0,1\}^n$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$S \in \mathcal{F}$$f$$\mathcal{F}$

Ben-Sasson và Kopparty trong "Phân tán affine từ đa thức không gian con" xây dựng rõ ràng các bộ phân tán affine không hạt cho các không gian có kích thước ít nhất là . Các chi tiết đầy đủ của bộ phân tán là một chút quá phức tạp để mô tả ở đây. $6n^{4/5}$

Một trường hợp đơn giản hơn cũng được thảo luận trong bài báo là khi chúng ta muốn một bộ phân tán affine cho các không gian con có kích thước . Sau đó, chế độ xem xây dựng của họ là và chỉ định bộ phân tán là , trong đó biểu thị bản đồ theo dõi: . Một thuộc tính quan trọng của bản đồ theo dõi là . F n 2 F 2 n f ( x ) = T r ( x 7 ) T r : F 2 n → F 2 T r ( x ) = ∑ n - 1 i = 0 x 2 i T r ( x + y ) = T r ( x $2n/5+10$${\mathbb{F}}_2^n$${\mathbb{F}}_{2^n}$$f(x) = Tr(x^7)$$Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$$Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$$Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

$\mathbb{F}_2$$n\times n$$n^2 - n$