Đếm số lượng đường dẫn đơn giản trong đồ thị vô hướng

18

Làm cách nào tôi có thể xác định số lượng đường dẫn đơn giản duy nhất trong biểu đồ không bị chặn? Hoặc cho một độ dài nhất định, hoặc một phạm vi độ dài chấp nhận được.

Hãy nhớ rằng một đường dẫn đơn giản là một đường dẫn không có chu kỳ, vì vậy tôi đang nói về việc đếm số lượng đường dẫn không có chu kỳ.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ryan
nguồn

2

Điều này đã được yêu cầu trên mathoverflow: mathoverflow.net/questions/18603/ trên

— Liệt kê

5

Trên thực tế, câu hỏi tại mathoverflow là về việc tìm tất cả các đường dẫn, và không tính chúng. Tìm kiếm chúng có thể khó hơn rất nhiều.

— DCTLib

1

Bên cạnh các tài liệu tham khảo được đưa ra trong các câu trả lời, một quan sát tầm thường là nếu người ta có thể đếm số đường đi có độ dài

thì có thể trả lời câu hỏi về sự tồn tại của đường hamiltonian. Vì vậy, rất có thể đó không phải là P.

n - 1

$n-1$

— Saeed

20

Có một số thuật toán đếm các đường đơn giản có độ dài trong thời gian , tốt hơn rất nhiều so với thời gian vũ phu ( ). Xem ví dụ Vassilevska và Williams, 2009 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Andreas Bjorklund
nguồn

18

Đó là # P-Complete (Valiant, 1979) vì vậy bạn khó có thể làm tốt hơn nhiều so với lực lượng vũ phu, nếu bạn muốn có câu trả lời chính xác. Các phép tính gần đúng được thảo luận bởi Roberts và Kroese (2007).

B. Roberts và DP Kroese, " Ước tính số - đường dẫn trong một đồ thị $s$ $t$ ". Tạp chí thuật toán và ứng dụng đồ thị , 11 (1): 195-214, 2007.

LG Valiant, " Sự phức tạp của vấn đề liệt kê và độ tin cậy ". Tạp chí SIAM về máy tính 8 (3): 410-421, 1979.

— David Richerby
nguồn

4

Bài báo của Roberts và Kroese dường như không đưa ra sự đảm bảo gần đúng. Có một PTAS được biết đến cho vấn đề này?

— Sasho Nikolov

3

@SashoNikolov, dường như không có thuật toán xấp xỉ hợp lý nào. Cho

thu được

từ

bằng cách thay thế mỗi nút bằng một cụm có kích thước

trong đó

và

. Đối với mỗi con đường đơn giản có độ dài

trong

có khoảng

đường dẫn trong

. Vì vậy, nếu

có một

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

Đường đi Hamilton, sẽ có ít nhất

hoặc đơn giản như vậy

đường dẫn trong

, và nếu không tối đa là một cái gì đó giống như

đường dẫn

đơn giản. Vì vậy, thật khó để ước chừng trong phạm vi khoảng

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

.

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Neal Young

6

Tôi muốn thêm một thuật toán xấp xỉ, một parametrized: Đối với một cố định (hoặc preciesly hơn, $\delta>0$ $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ ), bạn có thể tính toán một -approximation của số lượng đường đơn giản, trong một trong hai đồ thị vô hướng hoặc định hướng, độ dài trong thời gian . $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
nguồn