Các chức năng thú vị trên các biểu đồ có thể được tối đa hóa một cách hiệu quả.

Giả sử tôi có đồ thị có trọng số $G = (V,E,w)$ sao cho $w:E\rightarrow [-1,1]$ là hàm trọng số - lưu ý rằng trọng số âm được cho phép.

Nói rằng $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$ xác định một tài sản của bất kỳ tập hợp con của các đỉnh $S \subset V$ .

$f$$\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

Ví dụ: hàm cắt đồ thị là một thuộc tính thú vị của các tập hợp con của các đỉnh, nhưng không thể được tối đa hóa một cách hiệu quả. Hàm mật độ cạnh là một ví dụ khác về một đặc tính thú vị mà than ôi, không thể được tối đa hóa một cách hiệu quả. Tôi đang tìm kiếm các chức năng cũng thú vị không kém, nhưng có thể được tối đa hóa một cách hiệu quả.

Tôi sẽ để định nghĩa "thú vị" là hơi mơ hồ, nhưng tôi muốn vấn đề tối đa hóa là không tầm thường. Ví dụ, không nên là bạn có thể xác định câu trả lời mà không kiểm tra các cạnh của biểu đồ (vì vậy các hàm không đổi và hàm cardinality không thú vị). Cũng không nên xảy ra trường hợp $f$ thực sự chỉ mã hóa một số hàm khác với miền có kích thước đa thức bằng cách đệm nó vào miền $2^V$ (nghĩa là tôi không muốn có một miền X nhỏ $X$và một số hàm $m:2^S\rightarrow X$ biết trước khi nhìn vào biểu đồ, sao cho hàm quan tâm thực sự là $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ và $f(S) = g(m(S))$ Nếu đây là trường hợp, thì vấn đề "tối đa hóa" thực sự chỉ là một câu hỏi đánh giá chức năng trên tất cả các đầu vào.)

Chỉnh sửa: Đúng là đôi khi các vấn đề tối thiểu hóa rất dễ dàng nếu bạn bỏ qua các trọng số cạnh (mặc dù không giảm thiểu chức năng cắt, vì tôi cho phép các trọng số cạnh âm). Nhưng tôi rõ ràng quan tâm đến các vấn đề tối đa hóa. Nó không trở thành một vấn đề trong các vấn đề trọng số tự nhiên trong cài đặt này mặc dù.

Bất cứ khi nào đếm số cạnh thỏa mãn một số vị từ Boolean được xác định theo và , thì những gì bạn đã viết chỉ là Boolean 2-CSP. Hàm mục tiêu yêu cầu tối đa hóa số mệnh đề thỏa mãn trên tất cả các phép gán cho các biến. Điều này được biết là NP-hard và ngưỡng độ cứng chính xác cũng được biết là giả sử UGC (xem Raghavendra'08).$f(S)$$(u,v)$$u\in S$$v\in S$

Có nhiều ví dụ tích cực tự nhiên khi bạn muốn tối đa hóa các tập hợp con của các cạnh, ví dụ: Kết hợp tối đa là một ví dụ về vấn đề thời gian đa thức trong trường hợp này.

Phân vùng domatic / 2 màu yếu.

(Trong trường hợp này nếu mỗi có hàng xóm trong và ngược lại. Nếu không thì Một giải pháp với luôn tồn tại nếu có không có nút bị cô lập và nó có thể được tìm thấy dễ dàng trong thời gian đa thức.)$f(S) = 1$$v \in S$$V \setminus S$$f(S) = 0$$f(S) = 1$

Cắt tối thiểu (cụ thể, cắt đỉnh).

(Trong trường hợp này sẽ giống như thế này: 0 nếu loại bỏ các nút trong tập không phân vùng trong ít nhất hai thành phần và nếu không thì tối đa hóa tương đương với việc tìm ra mức cắt tối thiểu , có thể được thực hiện trong thời gian đa thức.)$f$$S$$G$$|V| - |S|$$f$

Bạn cũng có thể xác định một chức năng tương tự tương ứng với các cạnh cắt tối thiểu.

(Ví dụ: là 0 nếu hoặc ; nếu không thì là , trong đó là tập hợp các cạnh có một điểm cuối trong và điểm cuối khác trong )S = ∅ S = V | E | - | X | X S V ∖ $f(S)$$S = \emptyset$$S = V$$|E| - |X|$$X$$S$$V \setminus S$

Bộ độc lập tối đa.

(Ở đây = số nút trong không liền kề với bất kỳ nút nào khác trong + số nút trong liền kề với một nút trong Iff là tập độc lập tối đa chúng ta có .)S S V ∖ S S S f ( S ) = | V $f(S)$$S$$S$$V \setminus S$$S$$S$$f(S) = |V|$