Ý nghĩa toán học của các phỏng đoán lý thuyết phức tạp bên ngoài TCS

Bạn có biết hậu quả thú vị của các phỏng đoán (tiêu chuẩn) trong lý thuyết phức tạp trong các lĩnh vực khác của toán học (tức là ngoài khoa học máy tính lý thuyết) không?

Tôi muốn câu trả lời trong đó:

• phỏng đoán lý thuyết phức tạp là chung chung và tiêu chuẩn nhất có thể; Tôi cũng ổn với hậu quả của độ cứng của các vấn đề cụ thể, nhưng sẽ tốt hơn nếu các vấn đề được cho là khó (hoặc ít nhất đã được nghiên cứu trong hơn một vài bài báo)

• hàm ý là một tuyên bố không được biết là đúng vô điều kiện, hoặc các bằng chứng đã biết khác khó khăn hơn đáng kể

• kết nối càng ngạc nhiên càng tốt; đặc biệt, hàm ý không nên là một tuyên bố rõ ràng về các thuật toán

"Nếu lợn có thể bay, ngựa cũng sẽ hát" loại kết nối cũng được, miễn là lợn bay đến từ lý thuyết phức tạp và ngựa hát từ một lĩnh vực toán học ngoài khoa học máy tính.

Câu hỏi này theo một nghĩa nào đó là "câu chuyện ngược" của một câu hỏi mà chúng tôi có về việc sử dụng toán học đáng ngạc nhiên trong khoa học máy tính. Dick Lipton đã có một bài đăng blog chính xác dọc theo những dòng này: ông viết về hậu quả của phỏng đoán rằng bao thanh toán có độ phức tạp mạch lớn. Hậu quả là các phương trình diophantine nhất định không có giải pháp, một loại tuyên bố rất khó để chứng minh vô điều kiện. Bài viết dựa trên công việc với Dan Boneh, nhưng tôi không thể tìm thấy một bài báo.

EDIT: Như Josh Grochow ghi chú trong các bình luận, câu hỏi của ông về các ứng dụng của TCS cho toán học cổ điển có liên quan chặt chẽ với nhau. Câu hỏi của tôi là, một mặt, dễ dãi hơn, bởi vì tôi không khăng khăng hạn chế "toán học cổ điển". Tôi nghĩ rằng sự khác biệt quan trọng hơn là tôi nhấn mạnh vào một hàm ý đã được chứng minh từ một phỏng đoán phức tạp đến một tuyên bố trong một lĩnh vực toán học bên ngoài TCS. Hầu hết các câu trả lời cho câu hỏi của Josh không thuộc loại này, mà thay vào đó, đưa ra các kỹ thuật và khái niệm hữu ích trong toán học cổ điển được phát triển hoặc lấy cảm hứng từ TCS. Tuy nhiên, ít nhất một câu trả lời cho câu hỏi của Josh là một câu trả lời hoàn hảo cho câu hỏi của tôi: bài viết của Michael Freedmanđược thúc đẩy bởi một câu hỏi giống với tôi, và chứng minh một định lý về mặt lý thuyết hôn, có điều kiện về . Ông cho rằng định lý dường như nằm ngoài tầm với của các kỹ thuật hiện tại trong lý thuyết nút thắt. Theo định lý của Toda, nếu P # P = N P thì hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ, vì vậy giả định này khá hợp lý. Tôi quan tâm đến kết quả tương tự khác.$\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

Trong Quá nhiều chướng ngại vật trật tự nhỏ , Michael J. Dinneen đã chỉ ra rằng theo một phỏng đoán lý thuyết phức tạp hợp lý, kích thước của một số bộ vật cản như vậy có thể được hiển thị là lớn. Ví dụ, hãy xem xét lớp tham số của đồ thị của chi nhiều nhất là k . Khi k tăng, chúng ta có thể mong đợi các bộ cản trở O b s ( G k ) sẽ ngày càng phức tạp hơn, nhưng bao nhiêu thì sao? Dinneen đã chỉ ra rằng nếu hệ thống phân cấp đa thức không sụp đổ đến cấp thứ ba thì không có đa thức p sao cho số lượng vật cản trong O b s$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$được giới hạn bởip(k). Vì số lượng vật cản nhỏ để có chi bằng 0 (tức là phẳng) chỉ là hai ( O b s ( G 0 )={ K 5 , K 3 , 3 }), sự tăng trưởng siêu đa thức này không rõ ràng ngay lập tức (mặc dù tôi tin rằng nó có thể được chứng minh vô điều kiện). Điều thú vị về kết quả của Dinneen là nó áp dụng cho các kích thước của các bộ cản trở tương ứng vớibất kỳbộ lý tưởng nhỏnào đượctham số hóa G k để quyết địnhknhỏ nhất$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

Dưới đây là một ví dụ: Độ phức tạp tính toán và tính không đối xứng thông tin trong các sản phẩm tài chính của Arora, Barak và Ge cho thấy rằng nó có thể được tính toán một cách chính xác (ví dụ NP-hard) để dẫn xuất giá một cách chính xác - chúng sử dụng sơ đồ con dày đặc nhất như một vấn đề khó khăn.

Dọc theo cùng một dòng và sớm hơn nhiều là bài báo nổi tiếng của Bartholdi, Tovey và Trick về độ khó của việc thao túng một cuộc bầu cử.

Theo đề xuất của Sasho, câu trả lời của tôi cho câu hỏi " Ứng dụng của TCS vào toán học cổ điển? " Sau đây:

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

Nó rất giống với tinh thần của bài báo của Mike Freedman đã đề cập trước đó.

có vẻ như nhiều câu hỏi tách lớp phức tạp TCS có ý nghĩa chính trong toán học. câu hỏi P =? NP nói riêng dường như có mối liên hệ rất sâu rộng trên nhiều lĩnh vực và điều này bao gồm cả toán học. một số trường hợp đáng chú ý trong lĩnh vực này:

• Vấn đề Hilberts Nullstellensatz được hình thành vào đầu thế kỷ 20 đã được chứng minh là có khả năng biến đổi liên quan chặt chẽ đến độ phức tạp P vs NP, ví dụ như trong GIỚI THIỆU GIỚI THIỆU CỦA HILBERT'S NULLSTELLENSATZ VÀ PHIÊN BẢN TUYỆT VỜI CỦA NP . đây là một lĩnh vực nghiên cứu tiếp tục, ví dụ như trong Đại số máy tính, Kết hợp và Độ phức tạp: Các vấn đề Nullstellensatz và NP-hoàn chỉnh của Hilbert của Margulies.

• Định lý Fagins (wikipedia):

  Định lý Fagin là kết quả của lý thuyết phức tạp mô tả, nói rằng tập hợp tất cả các thuộc tính có thể biểu thị trong logic bậc hai tồn tại chính xác là NP lớp phức tạp. Điều đáng chú ý là nó là một đặc tính của NP lớp không gọi ra một mô hình tính toán như máy Turing.

  ý nghĩa chính / đáng ngạc nhiên của P = NP ở đây có nghĩa là tất cả các xác nhận logic bậc hai có thể được tính toán một cách hiệu quả.

• một trường hợp khác là có nhiều vấn đề NP hoàn chỉnh khác nhau được nêu hầu hết chỉ bằng thuật ngữ toán học (ví dụ: không tham chiếu đến các khái niệm TCS như TMs, nondeterminism, v.v.). danh sách này có thể rất lớn nếu lý thuyết đồ thị (khá hợp lý) được coi là toán học. tuy nhiên, ngay cả những cách hiểu hẹp về "toán học" cũng dẫn đến các trường hợp, ví dụ như trong lý thuyết số.

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • Có một vấn đề tự nhiên nào về bản chất đó là NP-Complete? tcs.se
  • lý thuyết số và NP hoàn thành toán học dòng chảy