Có ngôn ngữ cây thông thường trong đó chiều cao trung bình của cây có kích thước

Chúng tôi định nghĩa một ngôn ngữ cây thông thường như trong cuốn sách TATA : Đó là tập hợp các cây được chấp nhận bởi một máy tự động cây hữu hạn không xác định (Chương 1) hoặc, tương tự, tập hợp các cây được tạo bởi một ngữ pháp cây thông thường (Chương 2). Cả hai hình thức đều có sự tương đồng gần với các chuỗi tương tự nổi tiếng.

Có ngôn ngữ cây thông thường trong đó chiều cao trung bình của cây có kích thước không phải là hay không? $n$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

Rõ ràng có những ngôn ngữ cây sao cho chiều cao của cây là tuyến tính theo kích thước của nó; và trong cuốn sách Phân tích kết hợp, nó được hiển thị, ví dụ như cây nhị phân có kích thước có chiều cao trung bình . Nếu tôi hiểu đúng Dự luật VII.16 (tr.537) của cuốn sách được đề cập, thì có một tập hợp rộng các ngôn ngữ cây thông thường có chiều cao trung bình là , cụ thể là những ngôn ngữ trong đó có ngôn ngữ cây cũng là một loại cây đơn giản đáp ứng một số điều kiện bổ sung. $n$ $2\sqrt{ \pi n}$ $\Theta(\sqrt{n})$

Vì vậy, tôi đã tự hỏi liệu có một ngôn ngữ cây thông thường cho thấy một chiều cao trung bình khác nhau hoặc nếu có một sự phân đôi thực sự cho các ngôn ngữ cây thông thường.

Lưu ý: Câu hỏi này đã được hỏi trước đây trên Khoa học Máy tính , nhưng nó đã không được trả lời trong hơn ba tháng. Tôi muốn đăng lại nó ở đây vì câu hỏi quá cũ để di chuyển và bởi vì vẫn còn một mối quan tâm trong câu hỏi. Đây là một liên kết đến bài viết gốc.

— john_leo
nguồn

Cây duy nhất với chiều sâu liên tục là một câu trả lời rõ ràng: o (\ sqrt {n}) nhưng không

. Tôi tin rằng bạn có thể có nghĩa là một số câu hỏi khác? Thay thế

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

với

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

có thể?

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Joseph Stack

Có và không. Tôi nghĩ rằng một ngôn ngữ cây thường xuyên với trung bình chiều sâu

(nói) cũng sẽ rất thú vị. Nhưng bạn đúng ở chỗ chúng ta nên loại trừ những trường hợp thoái hóa như vậy. Có lẽ chúng ta nên yêu cầu ngôn ngữ cây chứa vô số yếu tố?

O (n^{1 / 3})

$O(n^{1/3})$

— john_leo

Những loại cây bạn có trong tâm trí? Cây xếp hạng, cây không có trật tự anh chị em, cây không có thứ tự; và, nhân tiện, ý nghĩa của loại máy automata, từ dưới lên hoặc từ trên xuống?

— fh

@JosephStack làm thế nào để chiều cao của một cây thông thường là vô hạn? Một cây có

nút không thể có chiều cao lớn hơn

n

$n$

n

$n$

— john_leo

@Raphael: Nếu bạn không xem xét

, tôi không rõ câu hỏi đó là gì. Câu trả lời cho "là có một ngôn ngữ cây thường xuyên vô hạn như vậy mà chiều cao trung bình là một hàm

với

lim sup

$\lim\sup$

f

$f$

và

"rõ ràng là có: Hãy chắc chắn rằng cho lẻ

bạn có

và những người thậm chí

f (n) \notin Θ (\sqrt{n})

$f(n)\notin \Theta(\sqrt{n})$

f (n) \notin Θ (n)

$f(n)\notin\Theta(n)$

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

. PS mỗi chức năng tôi có thể tưởng tượng thuộc về

đối với một số

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

Θ (g)

$\Theta(g)$

, vì vậy đây không phải là một sửa chữa chính xác :)

g \notin {\sqrt{n}, n}

$g\notin\{\sqrt{n},n\}$

— Joseph Stack

Tôi tin rằng câu trả lời là như bạn gợi ý rằng không asymptotics khác hơn là , $\Theta(1)$ vàlà có thể. Một tuyến đường đầy hứa hẹn để chứng minh điều này có thể áp dụng các kỹ thuật từgiấy mà xuất phát các $\Theta(\sqrt{n})$ $\Theta(n)$ tiệm cận $\Theta(\sqrt{n})$ với cây chạy của ngôn ngữ thông thường. Lưu ý rằng một cây được chấp nhận nếu tồn tại một cây chạy, do đó, trước tiên có thể lấy được (sử dụngloc.cit.) Chiều cao trung bình của một cây chạy được tạo ngẫu nhiên và lấy nó từ đó, nghĩa là chiếu ra các trạng thái không thay đổi chiều cao trung bình.

— Martin Hofmann
nguồn

Tôi nghĩ rằng đây là một nhận xét và không phải là một câu trả lời vì nó không rõ ràng cho đến khi nỗ lực này được thực hiện.

— Danny