Kỹ thuật chứng minh giới hạn về khoảng cách tích hợp trong LP (SDP)

Tham chiếu đến các kỹ thuật để chứng minh rằng kích thước của khoảng cách tích phân bị giới hạn bởi một số biểu thức cho một LP cụ thể (hoặc SDP, nhưng ít quan trọng hơn) là cần thiết. Ngoài ra, thật tuyệt khi có một tài liệu tham khảo đến một nơi mà các kỹ thuật để giảm thiểu các khoảng trống tích hợp được mô tả. Tôi là người mới trong lĩnh vực khoảng cách tích hợp, trông khá lớn, vì vậy mô tả về kết quả cổ điển được ưa thích hơn so với điều gì đó nóng bỏng.

— Grigory Yaroslavtsev
nguồn

Tiêu đề của bạn "Khoảng cách tích hợp trong LP (SDP)" quá chung chung, tốt hơn là nên cụ thể hơn với tiêu đề câu hỏi của bạn. Tiêu đề không phải là một thẻ, nó nên nêu câu hỏi của bạn, đại loại như: "các kỹ thuật chứng minh giới hạn về khoảng cách tích hợp trong LP (SDP)".

— Kaveh

Câu trả lời:

Để thảo luận, hãy xem xét vấn đề tối thiểu hóa với hàm mục tiêu . Ngoài đỉnh đầu tôi không thể nghĩ ra bất kỳ một kỹ thuật vượt trội nào để chứng minh khoảng cách tích hợp. Thông thường, phác thảo của bằng chứng là hình thức ngụ ý bởi định nghĩa về khoảng cách tích phân và các chi tiết là vấn đề cụ thể. $f(x)$

Để chỉ ra rằng khoảng cách tích phân là nhỏ (tức là LP là tốt), phác thảo bằng chứng sau đây là bình thường. Sử dụng một số loại tròn (thường ngẫu nhiên) để xây dựng một giải pháp không thể thiếu với cho mỗi LP-khả thi (và đối với mỗi trường hợp vấn đề). Theo sau đó là khoảng cách tích phân nhiều nhất là . $x'$ $f(x') \le c\cdot f(x)$ $x$ $c$

Để chỉ ra rằng khoảng cách tích phân là lớn, phác thảo sau đây là bình thường. Trình bày một ví dụ vấn đề với một giải pháp khả thi LP giá rẻ và chứng minh rằng không có giải pháp tích hợp tốt.

— Warren Schudy
nguồn

Trông giống như nó nên

, phải không?

f (x^{'}) \leq c f (x)

$f(x') \le c f(x)$

— Grigory Yaroslavtsev

Cảm ơn, cách tiếp cận bạn mô tả để chứng minh giới hạn trên về kích thước của khoảng cách là chính xác những gì tôi đang làm. Xây dựng

không phải là một vấn đề trong trường hợp của tôi, và sau đó tôi cần phải chứng minh bất đẳng thức

. Điều này hiện được thực hiện theo một cách cụ thể cho vấn đề, hầu như không khái quát hóa cho các vấn đề tương tự của cùng một lớp, vì vậy tôi đã tò mò liệu có tồn tại một số máy móc chung cho việc này không.

x^{'}

$x'$

f (x^{'}) \leq c f (x)

$f(x') \le c f(x)$

— Grigory Yaroslavtsev

@Grigory: Tôi đã sửa lỗi bạn báo cáo liên quan đến

đó là

x^{'}

$x'$

f (x^{'})

$f(x')$

— Warren Schudy

để thêm vào ghi chú của Warren, có các kế hoạch làm tròn ngày càng tinh vi (và thậm chí phụ thuộc), và thậm chí cả các kế hoạch đóng gói / bao gồm các vấn đề trong đó việc làm tròn có thể phá vỡ tính khả thi theo cách xấu. Tùy thuộc vào vấn đề của bạn là gì, có sẵn các tài liệu tham khảo nâng cao hơn.

— Suresh Venkat

Đây là một bộ máy nặng cho những gì bạn muốn, nhưng đã có một khối lượng lớn các kỹ thuật để thiết kế các LP (SDP) tinh tế hơn, ngày càng tiến gần hơn đến chương trình số nguyên mong muốn. Một tài liệu tham khảo tốt đánh giá các phương pháp này là của Monique Laurent: So sánh Sherali-Adams, Lovasz-Schrijver và Laserre thư giãn cho lập trình 0-1 .

Ngoài ra, tôi không biết về một nguồn tài liệu tham khảo tốt duy nhất: Tôi cho rằng bạn ít nhất đã xem qua các chương có liên quan trong cuốn sách của Vijay Vazirani ?

— Suresh Venkat
nguồn

Cảm ơn bạn, tài liệu tham khảo đầu tiên của bạn là những gì tôi đã nghĩ và cố gắng tránh, bởi vì tôi muốn có một cái gì đó đơn giản hơn nếu có thể.

— Grigory Yaroslavtsev

Đối với cuốn sách của Vijay, nó mô tả khái niệm về khoảng cách tích phân một cách ngắn gọn, và sau đó đi đến thảo luận về các vấn đề cụ thể, mà không đưa ra các kỹ thuật chung. Tôi nghi ngờ rằng khái niệm khoảng cách tích phân và các kết quả có liên quan về nó có thể rất khác so với kết quả về các thuật toán gần đúng, bởi vì đầu tiên là một vấn đề chủ yếu là hình học.

— Grigory Yaroslavtsev