Làm thế nào xấu màu sắc tham lam (danh sách màu) cho số lượng biểu đồ c-màu?

số c-chromatic được định nghĩa trong phần Phân vùng của đồ thị thành các sơ đồ . Nó yêu cầu số lượng màu tối thiểu được sử dụng để tô màu các đỉnh sao cho mỗi lớp màu là một đồ thị . Cograph là một đồ thị không có P4 , nghĩa là không có đường dẫn cảm ứng có độ dài 3.

Bài viết biểu thị số c-sắc độ là và chứng minh rằng trong Ghi chú 12 trên trang 4. Có thể sử dụng bằng chứng để chuyển đổi bất kỳ màu nào thành màu tối đa màu, trong thời gian đa thức.$c(G)$$c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$ $\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

Trong nghiên cứu về màu đồ thị cổ điển, tức là số màu sắc , màu sắc tham lam đã được thảo luận. Hiệu suất của màu tham lam được xác định bởi thứ tự của các đỉnh. Trong trường hợp xấu nhất, một biểu đồ cần màu trong khi . Điều này ngụ ý rằng tỷ lệ xấp xỉ của màu tham lam là tùy ý xấu.$\chi(G)$$\frac{|V|}{2}$$\chi(G)=2$

Tương tự như vậy, khi chúng ta tô màu đồ thị thành các đồ thị, chúng ta có thể sử dụng màu tham lam. Cho một thứ tự các đỉnh, gắn nhãn cho mỗi đỉnh với màu nhỏ nhất (giả sử các màu được dán nhãn là 1, 2, 3, ....) sao cho mỗi lớp màu là một đồ thị.

Câu hỏi của tôi là:

1. hành vi tồi tệ nhất của màu tham lam trên màu cograph là gì?
2. Có thể là màu tham lam cần nhiều hơn màu?$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

câu hỏi hay Hãy xem xét cách xây dựng sau: xây dựng k P3 được đánh số / đặt hàng là 1-2-3 4-5-6 7-8-9, v.v ... Bây giờ 1-2-3 tất cả đều có màu R theo sơ đồ tham lam. Tạo 4,5,6 tất cả liền kề với 3. Sau đó 4,5,6 mỗi màu B. Bây giờ tạo các đỉnh 7,8,9 liền kề với 3 và 6, sau đó chúng không thể có được màu R hoặc B. Chúng nhận được Y.

Tiếp tục với 10-11-12, với 10,11,12 liền kề 3,6,9. Chúng không thể được tô màu bằng RBY, vì vậy chúng nhận được G.

Các đỉnh 3k này sẽ cần k = n / 3 màu. Nhưng lưu ý rằng c (G) là 2, vì tập {3,6,9,12, v.v.} tạo ra một cụm và phần còn lại của biểu đồ tạo ra một kết hợp hoàn hảo. Vì vậy, điều này cho thấy rằng màu sắc tham lam vẫn có thể là xấu tùy ý cho màu sắc cograph là tốt.

Chúng ta có thể sửa đổi cấu trúc này để giảm mức độ tối đa ... 4,5,6 liền kề với 3, nhưng làm cho 7,8,9 vẫn liền kề với 6 nhưng bây giờ liền kề với 1 thay vì 3. Sau đó thực hiện 10, 11,12 liền kề với 9, 4 (thay vì 6) và 3. Và đối với các bộ ba trong tương lai, hãy tiếp tục xen kẽ đỉnh cuối của P3 trước mà chúng tham gia. Biểu đồ kết quả có thể không thể phân vùng thành 2 biểu đồ nữa, nhưng quan sát rằng 2,5,8,11, v.v. tạo thành một tập độc lập và phần còn lại có thể có thể che được bằng 2 biểu đồ nữa, nhưng tôi không chắc lắm. Nhưng tôi không nghĩ rằng điều này quan trọng ... điều quan trọng ở đây là mức độ tối đa đủ thấp để màu sắc tham lam sử dụng nhiều hơn màu (để trả lời câu hỏi thứ hai của bạn. )$\frac{1+\Delta}{2}$

Một câu hỏi thú vị khác được đặt ra là liệu một màu tham lam "thông minh hơn" (chẳng hạn như LexBFS) sẽ tạo ra một xấp xỉ tỷ lệ không đổi.