Mối liên hệ giữa vấn đề sai lệch Erdos và CS (lý thuyết)?

Gần đây, đã có một số kết quả mới về nghiên cứu thử nghiệm dựa trên máy tính về Vấn đề sai lệch Erdos (EDP) (thông qua các bộ giải SAT, được trích dẫn bên dưới). Vấn đề này đã được một số nhà nghiên cứu (T) CS trích dẫn và nghiên cứu. Tuy nhiên, các liên kết (có thể sâu?) Đến (T) CS không quá rõ ràng.

Các liên kết của EDP đến (T) CS là gì?

Dưới đây là một số tài liệu tham khảo cho thấy sự quan tâm của cộng đồng (T) CS trong EDP:

• Cuộc tấn công SAT vào EDP của Konev và Lisitsa, và phản ứng của Gowers ; Ngoài ra, các kết nối khác với TCS theo kinh nghiệm / thực nghiệm (ví dụ: bằng chứng định lý tự động SAT)

• Giới thiệu về EDP và các kỹ thuật trên blog của Lipton

• EDP ​​và Quyền riêng tư khác biệt trên blog Windows trên Lý thuyết, bởi Talwar

• Dự án EDP polymath , với một số đóng góp của các nhà khoa học máy tính

Có rất nhiều mối liên hệ giữa lý thuyết khác biệt và khoa học máy tính, và Bernard Chazelle đã khảo sát rất đẹp một số trong số chúng trong cuốn sách của mình . Gần đây, một số liên kết đã được tìm thấy gần đây, ví dụ bài đăng trên blog của Kunal nói về kết nối với quyền riêng tư khác biệt từ [MN] và [NTZ] . Một ví dụ khác là ý tưởng của Larsen về việc sử dụng sự khác biệt để chứng minh giới hạn thời gian cập nhật / truy vấn thấp hơn cho các cấu trúc dữ liệu động. Nhiều trong số các liên kết này có thể được khởi tạo với các tiến trình số học đồng nhất (HAP). Điều này sẽ cung cấp cho:

• $\varepsilon$
• giới hạn thấp hơn về thời gian cần thiết để cập nhật / truy vấn cấu trúc dữ liệu động để đếm phạm vi HAP
• giới hạn dưới và trên về lỗi cần thiết để trả lời riêng các truy vấn HAP

Tuy nhiên, có hai điều mà bạn phải nhận ra đối với các liên kết này. Một là không rõ ràng rằng các không gian của HAP là rất tự nhiên. Khi nào bạn muốn có đầu vào là nhiều số nguyên và muốn trả lời có bao nhiêu phần tử của HAP trong đầu vào? Tôi không thể nghĩ đến một tình huống khi điều này xảy ra, nhưng có lẽ tôi đang thiếu một cái gì đó.

Một điều mà bạn phải nhận thức được rằng tất cả các ứng dụng dựa trên khái niệm về sự khác biệt di truyền . Khái niệm này mạnh hơn sự khác biệt khiến nó trở nên dễ hiểu hơn: có giới hạn thấp hơn có sẵn cho nó, nó gần đúng với các yếu tố polylogarithmic, và nó xấp xỉ bằng giá trị của một vấn đề tối ưu hóa lồi. Kết quả Kunal nói về bài đăng trên blog (bài báo ở đây ) và bản dựng của Alon và Kalai mà Kalai đã viết trong bài đăng trên blog nàyvề cơ bản cùng nhau giải quyết sự khác biệt di truyền của HAP. Như Kunal giải thích, trực giác cho giới hạn dưới về sự khác biệt di truyền của HAP xuất phát từ mối liên hệ chặt chẽ giữa sự khác biệt di truyền và quyền riêng tư khác biệt, cùng với kết quả trước đó về quyền riêng tư khác biệt.

Tuy nhiên EDP là về sự khác biệt của HAP. Sự khác biệt là dễ vỡ hơn nhiều so với sự khác biệt di truyền, và điều đó làm cho khó khăn hơn để ràng buộc thấp hơn. Điều này cũng làm cho nó ít hữu ích hơn trong các ứng dụng so với sự khác biệt di truyền. Và đây là lý do tại sao EDP vẫn còn rộng mở trong khi câu hỏi về sự khác biệt di truyền được hiểu khá rõ.

Hãy để tôi kết thúc với một cách tiếp cận để tấn công EDP được lấy cảm hứng từ các ý tưởng khoa học máy tính. Có một cách để thư giãn sự khác biệt đối với chương trình semidefinite, xem khảo sát của Bansal để biết chi tiết. Giá trị tối ưu của chương trình semidefinite được giới hạn thấp hơn bởi giá trị của bất kỳ giải pháp khả thi nào cho chương trình kép của nó. Vì vậy, người ta có thể cố gắng chứng minh EDP bằng cách trưng bày một nhóm các giải pháp kép cho sự khác biệt hoàn toàn về bán chính xác này và cho thấy giá trị của các giải pháp kép đi đến vô cùng. Tôi thấy không có lý do tại sao một cuộc tấn công như vậy không thể hoạt động, đặc biệt là chúng tôi không biết cách xây dựng các giải pháp cho thư giãn semidefinite có giá trị không đổi cho các trường hợp lớn tùy ý. Trong thực tế, rất nhiều nỗ lực trong polymath5 đã tập trung vào việc tìm kiếm hoặc loại trừ các giải pháp kép với cấu trúc cụ thể.

$\Theta(n^{1/4})$