Phân tách lớp phức tạp mà không có định lý phân cấp

Các định lý phân cấp là các công cụ cơ bản. Một số lượng lớn trong số chúng đã được thu thập trong một câu hỏi trước đó (xem Định lý phân cấp và / hoặc định lý phân cấp nào bạn biết? ). Một số phân tách lớp phức tạp trực tiếp theo từ các định lý phân cấp. Ví dụ về sự phân ly trong nổi tiếng như: $L\neq PSPACE$ , $P\neq EXP$ , $NP\neq NEXP$ , $PSPACE\neq EXPSPACE$ .

Tuy nhiên, không phải mọi sự tách biệt đều xuất phát từ một định lý phân cấp. Một ví dụ rất đơn giản là $NP\neq E$ . Mặc dù chúng tôi không biết liệu có bất kỳ cái nào trong số chúng chứa cái kia hay không, nhưng chúng vẫn khác nhau, bởi vì $NP$ bị đóng đối với các phép biến đổi đa thức, trong khi $E$ thì không.

Đó là một số phân tách lớp phức tạp sâu hơn, vô điều kiện, không tương đối hóa cho các lớp thống nhất không trực tiếp theo một số định lý phân cấp?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Andras Farago
nguồn

Tôi nghĩ rằng đó là một chút bất thường để gọi

một sự tách biệt. Ngoài ra sự bất bình đẳng của họ là vì những lý do tầm thường và không cho chúng ta biết điều gì thú vị. AFAIK tất cả các phân tách lớp phức tạp thú vị cho các lớp phức tạp lớn dựa trên các định lý phân cấp (và lần lượt là đường chéo) tại một số điểm.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Kaveh

Đúng vậy, nó thực sự là bất thường để gọi

một sự tách biệt, vì nó giữ vì những lý do tầm thường. Tôi chỉ đưa nó lên để hiển thị một ví dụ đơn giản trong đó không cần định lý phân cấp.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

Err, bằng chứng của NP! = E không phụ thuộc vào một định lý phân cấp! Cách thức hoạt động là trước tiên bạn giả sử NP = E, sau đó sử dụng các thuộc tính đóng của NP để suy ra rằng E = EXP, do đó vi phạm Định lý phân cấp thời gian.

— Scott Aaronson

Cảm ơn bạn, Scott, bạn hoàn toàn đúng.

không phải là ví dụ đúng. Tôi đã đăng một bài tốt hơn trong số các câu trả lời.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

Vì vậy, mặc bất bình đẳng như vậy dựa vào diagonalization:

nhưng

. Đẹp và không tầm thường sau tất cả.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh

Câu trả lời:

Tôi rất muốn được hiển thị sai, nhưng tôi không nghĩ hiện tại có bất kỳ giới hạn dưới thống nhất nào cuối cùng không dựa trên một trong các định lý phân cấp. Hiểu biết hiện tại của chúng tôi về cách tận dụng tính đồng nhất thực sự khá hạn chế theo nghĩa đó.

Mặt khác, có nhiều giới hạn dưới thống nhất không theo trực tiếp từ các định lý phân cấp, nhưng sử dụng một định lý phân cấp kết hợp với các thủ thuật, kỹ thuật và kết quả thông minh khác, ví dụ:

[Hopcroft-Paul-Valiant]. Họ chứng minh rằng (phần phi diagonalization vụ chứng minh của họ), và sau đó sử dụng thực tế là $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ kết hợp với hệ thống phân cấp không gian. Kết quả + hệ thống phân cấp không gian của họ cũng ngụ ý . $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Sự đánh đổi không gian thời gian cho sự hài lòng (xem, ví dụ như phần giới thiệu của Buss-Williams và tài liệu tham khảo trong đó)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. Sử dụng một mô phỏng không cần thiết của bất kỳ máy thời gian siêu tuyến tính xác định nào bằng máy bốn phương nhanh hơn, kết hợp với hệ thống phân cấp thời gian xác định. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
Giới hạn đồng nhất thấp hơn trên vĩnh cửu [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ]
$\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Joshua Grochow
nguồn

$\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— Arne
nguồn

u n i f o r m

$uniform$

@AndresFarago: Đồng phục AC ^ 0 cũng được bao gồm đúng trong đồng phục TC ^ 0.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

Tôi nghĩ rằng sự không đồng nhất trong các bằng chứng chỉ là thứ yếu đối với thực tế rằng đây là những lớp khá nhỏ nơi chúng ta có một số hiểu biết về tổ hợp / đại số tốt đẹp về chúng. Tức là chúng ta hiểu họ đủ rõ để trực tiếp xây dựng một đối tượng không có trong đó. Trường hợp đối với các lớp lớn hơn thì không có sự hiểu biết như vậy và do đó phương pháp duy nhất chúng ta biết là thực hiện đường chéo đối với toàn bộ lớp để xây dựng các đối tượng đó.

— Kaveh

$P_{P-comp}$

$P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ $P_{P-comp}=P$

$L\in P_{P-comp}$ $E$

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$

Tài liệu tham khảo:

[1] R. Schuler, "Đóng bảng chân lý và đóng Turing của thời gian đa thức trung bình có các biện pháp khác nhau trong EXP," CCC 1996, pdf

— Andras Farago
nguồn