Độ phức tạp của chức năng Đa số

13

Đặt là hàm đa số, tức là khi và chỉ khi . Tôi đã tự hỏi nếu có một bằng chứng đơn giản về thực tế sau đây (bởi "đơn giản", ý tôi là không dựa vào phương pháp xác suất như Valiant 84 đã làm hoặc trên các mạng sắp xếp; tốt nhất là cung cấp một cấu trúc mạch rõ ràng, đơn giản): $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f(x) = 1$ $\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

$f$ có thể được tính bằng một họ các mạch có độ sâu , kích thước poly (n), trong đó các cổng bao gồm các cổng KHÔNG, cổng OR 2 đầu vào và cổng AND 2 đầu vào. $O(\log(n))$

— con trăn
nguồn

6

Điều này có thể được quan tâm: Igor Sergeev, Giới hạn trên cho kích thước công thức của hàm đa số ; cũng ở đây , ông thông báo giới hạn trên tốt hơn một chút. Tuy nhiên, nếu bạn hỏi về chỉ các mạch (không phải công thức ) thì, như Igor đã nhắc nhở tôi, mọi hàm boolean đối xứng (không chỉ đa số) có một mạch có độ sâu

và kích thước

: chỉ cần tính tổng của

s và nhận ra hàm boolean của

biến. Đối với đa số, hàm sau này là so sánh với

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

1

$1$

\log_{2} n

$\log_2n$

.

n / 2

$n/2$

— Stasys

@Stasys, và tính toán số lượng về cơ bản là sắp xếp các bit.

— Kaveh

9

Câu trả lời của Kaveh cung cấp câu trả lời cho câu hỏi như bạn đã nêu (và đây là bằng chứng thông thường để chỉ ra rằng có trong ). Nhưng tôi đã nghĩ rằng bạn thực sự có thể có ý định hỏi một câu hỏi hơi khác. Cụ thể cho một công thức đơn thức kích thước đa thức rõ ràng cho đa số. $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{NC}^1$

Vì phần lớn là đơn điệu, chúng tôi biết nó có thể được tính bằng một công thức đơn điệu. Có hai công thức đơn thức kích thước đa thức được biết đến, đó là hai công thức bạn đề cập, xây dựng xác suất của Valiant và xây dựng thông qua các mạng phân loại. Theo như tôi biết, chúng tôi không có cấu trúc xác định đơn giản hơn việc cung cấp bằng cách sắp xếp các mạng.

Liên quan đến điều này cũng là sau đây. Hóa ra đa có thể được tính bằng công thức mà bao gồm chỉ cửa (và không có hằng số!). Xây dựng xác suất của Valiant có thể được điều chỉnh để đưa ra các công thức có độ sâu . Tuy nhiên ở đây chúng tôi biết không có xây dựng xác định. Cụ thể, các mạng phân loại không phù hợp cho điều này (lý do kỹ thuật: chúng sẽ cung cấp tất cả các hàm ngưỡng và chỉ có chức năng đa số có thể được tính toán bằng tất cả các cổng ). Tuy nhiên có những tiến bộ gần đây về câu hỏi này được đưa ra trong bài báo $\mathsf{MAJ}_3$ $O(\log(n))$ $\mathsf{MAJ}_3$ Các giao thức đa nhóm hiệu quả thông qua các công thức ngưỡng ngưỡng đăng nhập của Cohen et al. Ở đây các công thức như vậy được xây dựng dựa trên các giả định về lý thuyết hoặc mật mã phức tạp tiêu chuẩn.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
nguồn

9

Máy tính cổng ngưỡng hạn chế ( ) là chủ yếu sắp xếp các bit đầu vào. $\sum_i x_i \geq k$

Nếu bạn có thể sắp xếp các bit thì thật dễ dàng để so sánh kết quả với và tính ngưỡng giới hạn. $k$

Mặt khác, giả sử rằng chúng ta có một mạch để tính ngưỡng giới hạn. Chúng ta có thể thực hiện tìm kiếm song song để tìm số lượng cái trong đầu vào và đầu ra danh sách đã sắp xếp.

Những bảo tồn độ sâu mạch. Vì vậy, nếu bạn đưa ra một mạch để tính ngưỡng giới hạn thì nó sẽ cho một mạch sắp xếp độ sâu . Vì vậy, nếu chúng tôi đưa ra một đối số đơn giản để hiển thị đa số là trong bạn đã tìm thấy một mạch sắp xếp độ sâu đơn giản - (khác với mạch dựa trên mạng sắp xếp AKS). $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$ $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$

Lưu ý rằng thật dễ dàng để thực hiện ngưỡng giới hạn bằng cách sử dụng đa số bằng cách thêm đầu vào 1 và 0 mới vào cổng đa số.

Trước đây câu trả lời này đã tuyên bố rằng nó có thể được thực hiện bằng cách sử dụng phép chia và chinh phục và thực tế là phép cộng nhị phân nằm trong . Điều đó chỉ cho thấy rằng phần lớn nằm trong và vì chúng tôi có các cổng fan-in không giới hạn trong phần bổ sung nhị phân nếu chúng tôi thực hiện trực tiếp. Tuy nhiên nó có thể được thực hiện với một chút công việc hơn. $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^1}$ $\mathsf{NC^2}$

Chúng ta phải sử dụng thủ thuật gọi là ba-cho-hai để duy trì độ sâu . $O(\lg n)$

phép cộng ba nhị phân:
cho ba số nhị phân ta có thể tính hai số nhị phân sao cho . $a,b,c$ $x,y$ $a+b+c = x+y$

Một phương pháp khác là sử dụng biểu diễn số nguyên có chữ ký của các số nguyên trong đó phép cộng có thể được thực hiện ở độ sâu và quạt 2. (Ý tưởng là sử dụng tính linh hoạt mà một số có thể được biểu diễn theo nhiều cách để đảm bảo rằng mang không truyền bá). $O(1)$

Xem phần 4 và bài tập 4 trong

David Mix Barrington và Alexis Maciel, " Khóa học nâng cao về độ phức tạp tính toán ", bài giảng 6, IAS / PCMI, 2000.

— Kaveh
nguồn

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

7

$n$

Một bằng chứng thay thế được đưa ra bởi Brodal và Husfeldt: Một bằng chứng về độ phức tạp trong giao tiếp rằng các hàm đối xứng có độ sâu logarit . Một lần nữa, bằng chứng là cơ bản và cung cấp một cấu trúc rõ ràng.

— Alexander S. Kulikov
nguồn