Trình bày gọn gàng bộ giải pháp của một ví dụ SAT

Câu hỏi này đã xuất hiện trong đầu tôi sau khi đọc những đóng góp của András Salamon và Colin McQuillan cho câu hỏi trước đây của tôi Đếm các giải pháp của công thức Monotone-2CNF .

EDIT 30 ^ngày tháng 3 năm 2011
gia tăng câu hỏi n ° 2.

EDIT 29 ^ngày tháng 10 năm 2010
Câu hỏi rephrased sau András đề nghị để chính thức hóa nó thông qua các khái niệm về đại diện tốt đẹp của một bộ giải pháp (Tôi đã sửa đổi quan niệm của mình một chút).

Đặt là một công thức CNF chung với biến. Đặt là tập giải pháp của nó. Rõ ràng,có thể theo cấp số nhân trong . Chon S | S | n $F$$n$$S$$|S|$$n$$R$là một đại diện của . được cho là tốt nếu và chỉ khi các sự kiện sau đây đều đúng:$S$$R$

1. $R$ có kích thước đa thức tính bằng .$n$
2. $R$ cho phép liệt kê các giải pháp trong với độ trễ đa thức.$S$
3. $R$ cho phép xác địnhtrong thời gian đa thức (tức là không liệt kê tất cả các giải pháp). $|S|$

Sẽ rất tuyệt nếu có thể, trong thời gian đa thức, xây dựng như vậy cho mọi công thức.$R$

Câu hỏi:

1. Có ai từng chứng minh rằng tồn tại một gia đình công thức mà đại diện tốt đẹp như vậy không thể tồn tại?
2. Có ai nghiên cứu mối quan hệ giữa biểu diễn của và các đối xứng được thể hiện bởi không? Theo trực giác, các đối xứng sẽ giúp biểu diễn gọn vì chúng tránh được biểu diễn rõ ràng của một tập hợp giải pháp khi thực sự sôi xuống chỉ một giải pháp (ví dụ từ mọi bạn có thể khôi phục mọi bằng cách áp dụng một đối xứng thích hợp, do đó, mọi tự nó là đại diện cho toàn bộ )F S S ' ⊂ S S ' s i ∈ S ' s j ∈ S ' s i ∈ S ' S $S$$F$$S$$S' \subset S$$S'$$s_i \in S'$$s_j \in S'$$s_i \in S'$$S'$

Như đã nêu (sửa đổi 3), câu hỏi có một câu trả lời đơn giản: không.

Lý do là ngay cả đối với lớp biểu diễn bị hạn chế cao được đưa ra bởi các mạch Boolean với các cổng AND, OR và NOT, không có giới hạn thấp hơn không được biết đến. (Rõ ràng một mạch đại diện cho cũng sẽ đại diện cho một cách ngầm định và thật dễ dàng để liệt kê các giải pháp bằng cách thay đổi các đầu vào thành mạch.)$F$$S$

Đối với các biểu diễn bị hạn chế hơn nữa, như mạch đơn điệu hoặc mạch có độ sâu không đổi, giới hạn dưới theo hàm mũ được biết đến. Ngoài ra còn có giới hạn dưới theo cấp số nhân để biểu diễn các công thức ở dạng CNF hoặc DNF, mặc dù đây có thể được coi là trường hợp đặc biệt của các mạch có độ sâu không đổi. Cuối cùng, các biểu diễn của BDD có thể được xem như các dạng DNF nhỏ gọn, nhưng tồn tại các công thức mà BDD yêu cầu kích thước theo cấp số nhân cho bất kỳ thứ tự biến nào.

Để làm cho câu hỏi của bạn chính xác hơn, vui lòng xem xét câu trả lời của @ Joshua một cách chi tiết và vui lòng làm rõ ý của bạn bằng cách "tầm thường để liệt kê mọi giải pháp duy nhất".

Đối với phiên bản 4, lưu ý tuyên bố về kích thước BDD. Một phần của những gì bạn dường như đang hỏi là: có một đại diện nhỏ gọn hơn của các công thức DNF so với BDD không? Đặt "BDD có kích thước siêu đa thức" có nghĩa là "mọi BDD đại diện cho cùng chức năng với , bất kể thứ tự biến, có kích thước siêu đa thức" và để "biểu diễn đẹp" có nghĩa là "biểu diễn cho phép các giải pháp được liệt kê với độ trễ đa thức". Câu hỏi cụ thể hơn này sau đó trở thành:$B$$B$

Có một họ các công thức và một đại diện đẹp có kích thước đa thức trong khi các BDD của nó có kích thước siêu đa thức?

Điều này có nắm bắt được bản chất của những gì bạn đang yêu cầu?

[Câu trả lời này là để đáp ứng với phiên bản trước Phiên bản 6 ngày 29 tháng 10 năm 2010]

Tôi nghĩ rằng câu hỏi ít nhiều hoạt động bây giờ, nhưng vẫn còn một vấn đề kỹ thuật. Cụ thể, làm thế nào để chính thức hóa "thật tầm thường khi liệt kê mọi giải pháp duy nhất bằng cách chỉ nhìn vào cấu trúc như vậy." Một chính thức hoá có lẽ ngây thơ (nhưng chỉ có một tôi có thể đưa ra tại thời điểm này) là như sau: chúng ta hãy biểu thị các đại diện của giải pháp thiết lập S ( φ ) của φ . Hiện tại tôi không đặt ra giới hạn nào cho R ngoài điều đó | R ( φ ) | ≤ p o l y ( n ) trong đó $R(\varphi)$$S(\varphi)$$\varphi$$R$$|R(\varphi)| \leq poly(n)$$\varphi$là một CNF trên biến. Sau đó, chúng tôi muốn có một thuật toán A sao cho A ( R ( φ ) ) = S ( φ ) và A trên đầu vào R ( φ ) ) chạy trong thời gian p o l y ( n , | S | ) .$n$$A$$A(R(\varphi)) = S(\varphi)$$A$$R(\varphi))$$poly(n, |S|)$

Theo chính thức này, các trường hợp khó khăn duy nhất là những trường hợp là siêu đa thức nhưng theo cấp số nhân. Các trường hợp còn lại được xử lý bởi biểu diễn R và thuật toán A sau: if | S | ≤ p o l y ( n ) , sau đó cho R ( φ ) = ( 0 , S ) . Nếu | S | ≥ 2 Ω ( n ) sau đó cho phép R ( φ ) = $S$$R$$A$$|S| \leq poly(n)$$R(\varphi) = (0, S)$$|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ . Một ( 0 , S ) chỉ đơn giản là kết quả đầu ra S và A ( 1 , φ ) chỉ đơn giản là tính S bằng brute force từ φ . Kể từ | S | = 2 Ω ( n ) trong trường hợp thứ hai, điều này vẫn chạy trong thời gian O ( | S | ) .$R(\varphi) = (1, \varphi)$$A(0, S)$$S$$A(1, \varphi)$$S$$\varphi$$|S| = 2^{\Omega(n)}$$O(|S|)$

Tuy nhiên, các trường hợp khó nói chung là không thể theo chính thức này. Nếu tồn tại và A như vậy , điều đó có nghĩa là độ phức tạp Kolmogorov giới hạn p của mọi S được giới hạn bởi p o l y ( n ) , điều này là vô lý (vì hầu hết tất cả các tập S đều có giới hạn thời gian p tối đa Độ phức tạp Kolmogorov, cụ thể là | S | ). (Ở đây p là thời gian chạy của A là một hàm của | S | .)$R$$A$$p$$S$$poly(n)$$S$$p$$|S|$$p$$A$$|S|$

(Lưu ý rằng nếu chúng ta thêm yêu cầu chạy trong thời gian p o l y ( n , | φ | ) , thì câu trả lời cho câu hỏi không nói chung, giả sử P ≠ P r o m i s e U P : nếu φ có một giải pháp độc đáo, sau đó A ( R ( φ ) ) sẽ giải quyết φ và chạy trong thời gian p o l y ( n ) .$R$$poly(n, |\varphi|)$$P \neq PromiseUP$$\varphi$$A(R(\varphi))$$\varphi$$poly(n)$