Độ phức tạp truyền thông xác định so với số phân vùng

Lý lịch:

Hãy xem xét mô hình phức tạp giao tiếp hai bên thông thường trong đó Alice và Bob được cung cấp các chuỗi -bit và và phải tính toán một số hàm Boolean , trong đó . $n$ $x$ $y$ $f(x,y)$ $f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

Chúng tôi xác định số lượng sau:

$D(f)$ (độ phức tạp giao tiếp xác định của ): Số bit tối thiểu mà Alice và Bob cần giao tiếp để tính xác định. $f$ $f(x,y)$

$Pn(f)$ (số phân vùng của ): logarit (cơ sở 2) của số lượng hình chữ nhật đơn sắc nhỏ nhất trong một phân vùng (hoặc bìa tách rời) của . $f$ $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

Một hình chữ nhật đơn sắc trong là tập con sao cho nhận cùng một giá trị (nghĩa là đơn sắc) trên tất cả các phần tử của . $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ $R \times C$ $f$ $R \times C$

Cũng lưu ý rằng số phân vùng khác với "số phân vùng giao thức", đây là chủ đề của câu hỏi này .

Xem văn bản của Kushilevitz và Nisan để biết thêm thông tin. Trong ký hiệu của họ, cái mà tôi đã xác định là là . $Pn(f)$ $\log_2 C^D(f)$

Lưu ý : Các định nghĩa này dễ dàng được khái quát hóa cho các hàm không phải Boolean , trong đó đầu ra của là một số tập lớn hơn. $f$ $f$

Kết quả đã biết:

Được biết, là giới hạn dưới của , nghĩa là với tất cả (Boolean hoặc không Boolean) , . Thật vậy, hầu hết các kỹ thuật ràng buộc thấp hơn (hoặc có lẽ là tất cả?) Cho thực sự thấp hơn . (Bất cứ ai cũng có thể xác nhận rằng điều này đúng với tất cả các kỹ thuật ràng buộc thấp hơn?) $Pn(f)$ $D(f)$ $f$ $Pn(f) \leq D(f)$ $D(f)$ $Pn(f)$

Người ta cũng biết rằng ràng buộc này nhiều nhất là lỏng lẻo bậc hai (đối với các hàm Boolean hoặc không Boolean), tức là, . Để tóm tắt, chúng tôi biết như sau: $D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

Người ta phỏng đoán rằng . . Phỏng đoán mảng tuyến tính trong độ phức tạp trong giao tiếp là sai "của Eyal Kushilevitz, Nathan Linial và Rafail Ostrovsky. $Pn(f) = \Theta(D(f))$

Chính xác hơn, chúng thể hiện một họ vô hạn các hàm Boolean , sao cho . $f$ $D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

Câu hỏi:

Sự phân tách được biết đến nhiều nhất giữa và cho các hàm không Boolean là gì? Nó vẫn là phân tách yếu tố-2 được tham chiếu ở trên? $Pn(f)$ $D(f)$

Đã thêm vào v2 : Vì tôi chưa nhận được câu trả lời trong một tuần, tôi cũng rất vui khi nghe câu trả lời một phần, phỏng đoán, tin đồn, bằng chứng giai thoại, v.v.

lower-bounds communication-complexity

— Robin Kothari
nguồn

Bạn có chắc chắn về không? Bổ đề 3,8 trong cuốn sách của Jukna chỉ chứng minh , và KN chỉ nêu .

D (f) \leq (P n (f))^{2}

$D(f) \le (Pn(f))^2$

D (f) \leq 2 (P n (f))^{2}

$D(f) \le 2(Pn(f))^2$

D (f) = O ((P n (f))^{2})

$D(f) = O((Pn(f))^2)$

— András Salamon

@ AndrásSalamon: Tôi không quá cẩn thận nêu rõ giới hạn trên vì tôi đang tìm các chức năng gần với giới hạn dưới, nhưng tôi nghĩ là có thể đạt được. Xem Định lý 2.2 trong "Giới hạn về độ phức tạp trong giao tiếp" của Troy Lee và Adi Shraibman.

(P n (f) + 1)^{2}

$(Pn(f)+1)^2$

— Robin Kothari

Vì , trong đó là số lượng lá nhỏ nhất trong cây giao thức truyền thông cho , nên có thể đưa ra giới hạn dưới cho về mặt kỹ thuật không bị giới hạn dưới đối với . Tuy nhiên, vì , nên một giới hạn thấp hơn như vậy về cơ bản sẽ thiết lập một xấp xỉ gần đúng với giá trị chính xác của .

P n (f) \leq \log L (f) \leq D (f)

$Pn(f) \le \log L(f) \le D(f)$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

\log L (f)

$\log L(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

D (f) \leq 3.4 \log L (f)

$D(f) \le 3.4\,\log L(f)$

D (f)

$D(f)$

— András Salamon

Xem thêm câu trả lời có liên quan cstheory.stackexchange.com/a/3352/109

— András Salamon

Câu trả lời:

Câu hỏi này vừa được giải quyết! Như tôi đã đề cập, nó đã được biết rằng

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$ ,

nhưng đó là một vấn đề mở lớn để chỉ ra rằng hoặc có tồn tại một hàm mà . $Pn(f) = \Theta(D(f))$ $Pn(f) = o(D(f))$

Một vài ngày trước, điều này đã được giải quyết bởi Mika Göös, Tonian Pitassi, Thomas Watson ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ). Chúng chỉ ra rằng tồn tại một hàm thỏa mãn $f$

$Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$ .

Chúng cũng hiển thị kết quả tối ưu cho phiên bản một mặt của , mà tôi sẽ biểu thị bằng , trong đó bạn chỉ cần che các đầu vào 1 bằng hình chữ nhật. cũng thỏa mãn $Pn(f)$ $Pn_1(f)$ $Pn_1(f)$

$Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$ ,

và họ cho thấy rằng đây là mối quan hệ tốt nhất có thể có giữa hai biện pháp, vì chúng thể hiện một chức năng thỏa mãn $f$

$Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$ .

— Robin Kothari
nguồn

Điều này kết thúc tốt đẹp câu hỏi!

— András Salamon

Bạn nhận xét rằng giới hạn dưới trên có liên quan chặt chẽ với tất cả các kỹ thuật ràng buộc thấp hơn hiện có. Đối với các hàm Boolean, điều này có vẻ đúng, miễn là phỏng đoán thứ hạng log là đúng. Tuy nhiên, có thể lớn hơn theo cấp số nhân so với tập đánh lừa bị ràng buộc. $Pn(f)$ $Pn(f)$

Tôi không rõ ràng bao nhiêu và có thể khác nhau trong trường hợp không Boolean. $Pn(f)$ $D(f)$

Trong phần còn lại tôi làm cho những bình luận này chính xác hơn.

KN (Kushilevitz và Nisan trong sách giáo khoa năm 1997 của họ) phác thảo ba kỹ thuật cơ bản cho các hàm Boolean: kích thước của một tập hợp đánh lừa, kích thước của một hình chữ nhật đơn sắc và xếp hạng của ma trận giao tiếp.

Đầu tiên, đánh lừa bộ. Một lừa bộ là đơn sắc: có một số mà cho mỗi . Một số bản vá cuối cùng sau đó là cần thiết để tính đến màu khác. Bước thêm này có thể tránh được. Đặt là một hàm. Một cặp phần tử riêng biệt bị đánh lừa một cách yếu ớt cho nếu ngụ ý rằng hoặc . Một tập hợp là một $S$ $z \in \{0,1\}$ $f(x,y) = z$ $(x,y)\in S$ $f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$ $f$ $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$ $f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ $f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$ $S \subseteq X \times Y$ đánh lừa yếu được đặt cho nếu mọi cặp phần tử riêng biệt của bị đánh lừa yếu. KN ngầm tuyên bố sau bằng chứng 1,20 rằng kích thước nhật ký của bộ đánh lừa yếu là giới hạn thấp hơn cho độ phức tạp trong giao tiếp. $f$ $S$

Một bộ đánh lừa yếu lớn nhất chọn một phần tử đại diện từ mỗi hình chữ nhật đơn sắc trong một bộ bìa tách rời nhỏ nhất. Do đó, kích thước của một bộ đánh lừa yếu lớn nhất lớn nhất bằng (số mũ của) số phân vùng. Thật không may, các ràng buộc được cung cấp bởi bộ đánh lừa thường yếu. Các bằng chứng về KN 1.20 cho thấy bất kỳ chức năng lập bản đồ mỗi phần tử một yếu lừa bộ để một hình chữ nhật đơn sắc chứa yếu tố đó là đơn ánh. Tuy nhiên, có thể có nhiều hình chữ nhật đơn sắc trong một vỏ bọc tách rời nhỏ nhất không xuất hiện trong ảnh của , với mọi phần tử của đánh lừa yếu với một số nhưng không phải tất cả các phần tử của $s$ $S$ $R_s$ $R$ $S$ $R$ $S$ , Và như vậy có thể không chỉ đơn giản được thêm vào . Trong thực tế Dietzfelbinger, Hromkovič và Schnitger cho thấy (doi: 10,1016 / S0304-3975 (96) 00.062-X ) mà cho tất cả đủ lớn , ít nhất là của tất cả các hàm Boolean trên biến có chưa có (yếu) đánh lừa các bộ kích thước nhật ký . Vì vậy, nhật ký kích thước của bộ đánh lừa lớn nhất (yếu) có thể nhỏ hơn theo cấp số nhân so với độ phức tạp trong giao tiếp. $S$ $n$ $1/4$ $n$ $Pn(f) = n$ $O(\log n)$

Đối với thứ hạng, việc thiết lập một sự tương ứng chặt chẽ giữa thứ hạng của ma trận của hàm và số phân vùng của nó sẽ thiết lập một dạng phỏng đoán thứ hạng log (tùy thuộc vào độ chặt của sự tương ứng). Chẳng hạn, nếu có hằng số sao cho cho mọi hàm Boolean , thì và một loại phỏng đoán thứ hạng log sau đó giữ cho các họ hàm mà cuối cùng tăng với, với số mũ cho mọi có thể đạt được với đủ lớn $a> 0$ $Pn(f) \le a\log rk(f)$ $f$ $D(f) \le (2a\log rk(f))^2$ $rk(f)$ $|X|+|Y|$ $2+\epsilon$ $\epsilon > 0$ $|X|+|Y|$ . (Nhớ lại rằng Lovász-Saks log-rank phỏng đoán nói rằng có một hằng số sao cho cho mỗi chức năng Boolean ; đây là thứ hạng của ma trận giao tiếp của so với thực tế.) $c>0$ $D(f) \le (\log rk(f))^c$ $f$ $rk(f)$ $f$

Tương tự, nếu chỉ có một hình chữ nhật đơn sắc khá lớn cùng với nhiều hình nhỏ, thì số phân vùng cho ràng buộc mạnh hơn kích thước log của hình chữ nhật đơn sắc lớn nhất. Tuy nhiên, phỏng đoán thứ hạng log cũng tương đương với phỏng đoán về kích thước của hình chữ nhật đơn sắc lớn nhất (Nisan và Wigderson 1995, doi: 10.1007 / BF01192527 , Định lý 2). Vì vậy, việc sử dụng các hình chữ nhật đơn sắc hiện không được biết là "giống như" sử dụng số phân vùng, nhưng chúng có liên quan chặt chẽ nếu phỏng đoán thứ hạng log giữ.

Tóm lại, kích thước nhật ký của bộ đánh lừa yếu lớn nhất có thể nhỏ hơn theo cấp số nhân so với số phân vùng. Có thể có những khoảng trống giữa các kỹ thuật ràng buộc thấp hơn khác và số phân vùng, nhưng nếu phỏng đoán thứ hạng log giữ thì những khoảng trống này là nhỏ.

Bằng cách sử dụng các khái niệm kích thước mở rộng thông thường (về cardinality), kích thước của bất kỳ hình chữ nhật đơn sắc nào cũng có thể được sử dụng để khái quát các bộ đánh lừa và để giảm độ phức tạp giao tiếp (xem KN 1.24). Tôi không chắc chắn mức độ "kích thước" lớn nhất của bất kỳ hình chữ nhật đơn sắc nào phải gần với độ phức tạp trong giao tiếp.

Ngược lại với các cuộc thảo luận ở trên về các hàm Boolean, đối với các hàm không phải Boolean, khoảng cách giữa và có thể là theo cấp số nhân. KN 2.23 đưa ra một ví dụ: gọi là hàm trả về kích thước của các giao điểm của các tập hợp được biểu thị bằng hai vectơ đặc tính đầu vào. Đối với chức năng này, thứ hạng là . Bây giờ tập hợp tất cả các cặp tập hợp không giao nhau có phần tử. Theo như tôi có thể nói, không thể có hình chữ nhật đơn sắc nào lớn hơn bộ này. Nếu điều này đúng, thì , vì vậy đối với chức năng này, , $D(f)$ $\log rk(f)$ $f$ $\log n$ $3^n$ $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$ $D(f)$ $Pn(f)$ và kích thước nhật ký của một hình chữ nhật đơn sắc lớn nhất đều nằm trong một hệ số nhiều nhất là của nhau, trong khi cách xa thứ hạng theo cấp số nhân. Do đó, sự phân tách nhỏ giữa và có thể có thể xảy ra trong trường hợp không phải Boolean, nhưng chúng không liên quan theo cách rõ ràng với thứ hạng log của ma trận . Tôi không biết về bất kỳ công trình được công bố nào thảo luận về các biện pháp này có liên quan như thế nào trong trường hợp không phải Boolean. $2.5$ $Pn(f)$ $D(f)$ $f$

Cuối cùng, Dietzfelbinger et al. cũng xác định một tập hợp đánh lừa mở rộng bị ràng buộc, khái quát hóa điều kiện đánh lừa từ các cặp (tập con "thứ tự 1") đến tập hợp lớn hơn của các phần tử đơn sắc; điều kiện đánh lừa mở rộng đòi hỏi các hàm con được kéo dài bởi các phần tử đơn sắc không phải là đơn sắc. Không rõ điều này hoạt động như thế nào khi thứ tự của các tập hợp đơn sắc tăng lên, vì người ta phải chia kích thước của bộ đánh lừa mở rộng được đặt theo đơn đặt hàng và xem xét giá trị lớn nhất trong tất cả các đơn đặt hàng. Tuy nhiên, khái niệm này kết thúc là một giới hạn dưới gần với . $Pn(f)$

— Salamás Salamon
nguồn

Cảm ơn đã chia sẻ quan sát của bạn. Về tuyên bố đầu tiên, tôi nghĩ rằng thực tế rằng có liên quan đến tất cả các kỹ thuật ràng buộc thấp hơn cho là độc lập thực sự với phỏng đoán thứ hạng nhật ký. Theo như tôi biết, mọi kỹ thuật ràng buộc thấp hơn cho thực sự là một kỹ thuật ràng buộc thấp hơn đối với , bao gồm cả thứ hạng nhật ký bị ràng buộc thấp hơn.

P n (f)

$Pn(f)$

D (f)

$D(f)$

D (f)

$D(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

— Robin Kothari

@Robin: Xin lỗi vì sự thiếu rõ ràng của tôi; các cụm từ chính là "liên quan chặt chẽ" và "bao nhiêu ... có thể khác nhau". Tôi đang sử dụng các bất đẳng thức đã biết như , trong đó là số lượng mục trong một hình chữ nhật đơn sắc lớn nhất trong ma trận của và miền của là . Nhận xét của tôi là về mức độ bất bình đẳng này gần như thế nào , ví dụ liệu chúng có tránh được các khoảng trống theo cấp số nhân hay không và tại sao kích thước tập đánh lừa yếu lại hữu ích hơn so với khái niệm thông thường (phiên bản đơn sắc có thể nhỏ hơn theo cấp số mũ).

D (f) \geq P n (f) \geq 2 n - \log m o n o (f)

$D(f) \ge Pn(f) \ge 2n - \log mono(f)$

m o n o (f)

$mono(f)$

f

$f$

f

$f$

2^{n} \times 2^{n}

$2^n\times 2^n$

— András Salamon