Lý thuyết kiểu đồng luân và các định lý không hoàn chỉnh của Gôdel

Các định lý không hoàn chỉnh của Kurt Gödel thiết lập "các giới hạn vốn có của tất cả trừ các hệ tiên đề tầm thường nhất có khả năng thực hiện số học".

Lý thuyết loại Homotopy cung cấp một nền tảng thay thế cho toán học, một nền tảng thống nhất dựa trên các loại quy nạp cao hơn và tiên đề univalence . Sách HoTT giải thích rằng các loại là nhóm cao hơn, chức năng là functor, loại gia đình là are brations, v.v.

Bài báo gần đây "Toán học được xác minh chính thức" trong CACM của Jeremy Avigad và John Harrison thảo luận về HoTT liên quan đến toán học được xác minh chính thức và chứng minh định lý tự động.

Các định lý không hoàn chỉnh của Gôdel có áp dụng cho HoTT không?

Và nếu họ làm,

là lý thuyết loại đồng luân bị suy yếu bởi định lý không hoàn chỉnh của Gôdel (trong bối cảnh toán học được xác minh chính thức)?

Dĩ nhiên, HoTT "chịu đựng" sự không hoàn hảo của Gôdel, vì nó có một ngôn ngữ và quy tắc suy luận có thể tính toán được, và chúng ta có thể chính thức hóa số học trong đó. Các tác giả của cuốn sách HoTT đã hoàn toàn nhận thức được sự không hoàn hảo của nó. (Trong thực tế, điều này là khá rõ ràng, đặc biệt là khi một nửa các tác giả là những người logic của một số loại).

Nhưng không đầy đủ "suy yếu" HoTT? Không hơn bất kỳ hệ thống chính thức nào khác, và tôi nghĩ rằng toàn bộ vấn đề là một chút sai lầm. Hãy để tôi thử một tương tự. Giả sử bạn có một chiếc xe không thể đưa bạn đi khắp mọi nơi trên hành tinh. Chẳng hạn, nó không thể leo thẳng lên tường. Xe có bị "suy yếu" không? Tất nhiên, nó không thể đưa bạn lên đỉnh tòa nhà Empire State. Là chiếc xe vô dụng? Xa nó, nó có thể đưa bạn quá nhiều nơi thú vị khác. Chưa kể tòa nhà Empire State có thang máy.