Biến thể tiến bộ số học đa chiều

Với $\vec{d} \in \mathbb{N}^n$ , hãy đặt $Q(\vec{d}) \subset \mathbb{N}^n$ là tập hợp các đỉnh của khối $n$ chiều hai chiều được chia tỷ lệ theo hướng tọa độ thứ $i$ bởi $d_i$ , tức là $Q(\vec{d} = \{\langle \pm d_1, \ldots, \pm d_n\rangle\}$ .

Hãy xem xét vấn đề sau:

Cho một tập hợp các điểm trong $\mathbb{N}^n$ và số $k$ , tập hợp đó có chứa một tiến trình số học $n$ chiều không giới hạn của độ dài $k$ không?

Chính thức hơn,

Input:
cho trước một tập hữu hạn $X \subseteq \mathbb{N}^n$ và một số nguyên dương $k \in \mathbb{N}^+$ .

Câu hỏi:
đang có và mà cho tất cả các số nguyên ? $\vec{o}\in \mathbb{N}^n$ $\vec{d} \in (\mathbb{N}^+)^n$ $\vec{o}+ Q(i\vec{d})\subseteq X$ $0 \leq i \leq k$

Một cách không chính thức, chúng tôi đang xem xét việc ngăn chặn các đỉnh của các hình khối thẳng hàng trục được chia tỷ lệ tập trung tại . $n$ $\vec{o}$

Vấn đề này có tên không? Sự phức tạp của nó là gì? Chúng ta có thể giải quyết nó bằng lập trình động không?

— Marzio De Biasi
nguồn

Chúng tôi có chuyên gia này về việc chứng minh tính đầy đủ NP ở đây tại cstheory.SE: bạn nên hỏi anh ấy. Tên anh ấy là Marzio ... oh chờ đã.

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: Tôi đã hỏi anh ấy, nhưng có vẻ như anh ấy hơi "mất trật tự" trong những tuần này :-)

— Marzio De Biasi

Tại sao thuật toán tầm thường sau đây không làm việc: enumerate khắp choicses

, và cho mỗi

enumerate khắp

điểm và tất cả trong

, bỏ và chuyển sang tiếp theo

càng sớm càng một số

được tìm thấy điều đó không có thuộc về

. Có

sự lựa chọn cho

, và đối với mỗi chúng ta liệt kê qua tại hầu hết

a_{0} \in X

$a_0 \in X$

a_{0}

$a_0$

i

$i$

Q_{i} (a_{0})

$Q_i(a_0)$

a_{0}

$a_0$

a \in Q_{i} (a_{0})

$a \in Q_i(a_0)$

X

$X$

| X |

$|X|$

a_{0}

$a_0$

điểm, vì vậy đây là thuật toán thời gian bậc hai. Có lẽ bạn có ý tưởngnào đó về

được chỉ định ngầm?

| X | + 1

$|X|+1$

X

$X$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov: bạn đúng, nếu

được đưa ra một cách rõ ràng (và các cạnh của hộp được căn chỉnh theo trục) thì giải pháp là không đáng kể. Bạn có thể chuyển đổi nhận xét của bạn thành một câu trả lời và tôi sẽ chấp nhận nó!

X

$X$

— Marzio De Biasi

@Sasho: Nó đủ để kiểm tra mọi khoảng cách giữa hai đỉnh của

, vì vậy nhiều nhất là

, đa thức trong đầu vào. với Marzio: Nếu

ngắn gọn, thì tình huống cho

gì? Có lẽ điều đó sẽ khiến chúng tôi hiểu những gì bạn đang hỏi ...

X

$X$

| X |^{2}

$|X|^2$

X

$X$

n = 1

$n=1$

— domotorp

Cuốn sách Kết hợp phụ gia của Terence Tao và Van Vu thảo luận về các chuỗi số học theo chiều sâu từ quan điểm toán học. Chúng thiết lập sự tồn tại của các chuỗi số học trong các điều kiện khác nhau của tập của bạn . $X$

Ví dụ : Định lý Szemeredi

Nếu một tập hợp con "mật độ" dương trong mạng của bạn, nó có vô số tiến trình số học có độ dài tùy ý.

d e n s i t y (E) = \underset{N \to \infty}{lim sup} \frac{| E \cap [1, N] |}{N} \geq 0

$\displaystyle \mathrm{density}(E) = \limsup_{N \to \infty} \frac{|E \cap [1,N]| }{N} \geq 0$

Đặt được đặt mật độ trên dương, sau đó có một tiến trình số học -term không tầm thường . $E \subseteq \mathbb{N}$ $E$ $k$

Bạn hoàn toàn có thể tưởng tượng tìm kiếm vectơ sắp xếp theo mô hình khác nhau chứ không phải là hạn chế sự chú ý của bạn đến . $\mathbb{Z}$

Cuốn sách đơn giản hóa phân tích và xác suất Fourier rất kỹ thuật thay thế nó bằng lý thuyết và xác suất Fourier ít kỹ thuật hơn. Họ chia toán toán nặng nề thành bổ đề và định lý hữu ích cho các vấn đề cụ thể hơn. 😃

Ví dụ xem xét một tập hợp ngẫu nhiên với xác suất $E \subset [1,N]$ . Bất kỳ 3 phần tử số cách đều nhausẽ được chọn bên trongvới xác suất $\mathbb{P}[k \in E] = \frac{1}{2}$ $a, a+d, a+2d \in \mathbb{N}$ $E$ , vì vậy chúng ta có thể mong đợi nhiều tiến trình số học trong tậpngẫu nhiên. $\frac{1}{8}$ $E$

Trên cực đoan khác đang sử dụng các chức năng sàn . Đây là khoảng "được đặt hàng" như bạn có thể nhận được, và nó cũng sẽ có nhiều tiến trình số học có độ dài tùy ý. $\{[n \sqrt{7}] : n \in \mathbb{Z}\} = \{ [ 0, 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 21, 23,\dots \}$

Sau đó, sẽ tùy thuộc vào bạn để xem xét các khía cạnh thời gian chạy của các thuật toán mà chúng đang ngụ ý. Có thể không nhất thiết phải dễ dàng tìm thấy các chuỗi số học trong các số nguyên tố hoặc bình phương ngay cả khi chúng ta biết chúng tồn tại.

— John John
nguồn