Một vấn đề phân vùng cạnh trên đồ thị khối

Sự phức tạp của vấn đề sau đây đã được nghiên cứu?

Input : a khối (hoặc -regular) đồ thị G = ( V , E ) , một trên ràng buộc tự nhiên $3$$G=(V,E)$$t$

Câu hỏi : có phân vùng vào | E | / 3 phần của kích thước 3 sao cho tổng các đơn đặt hàng của các sơ đồ con tương ứng (không cần thiết) là tối đa t ?$E$$|E|/3$$3$$t$

Công việc liên quan Tôi tìm thấy khá nhiều bài báo trong tài liệu chứng minh các điều kiện cần và / hoặc đủ cho sự tồn tại của một phân vùng thành một số biểu đồ chứa ba cạnh, có liên quan nào đó và một số khác về các vấn đề phức tạp tính toán của các vấn đề giao nhau với ở trên (ví dụ: phân vùng phải mang lại sơ đồ con đẳng cấu cho hoặc P 4 và không có trọng số nào được liên kết với một phân vùng nhất định), nhưng không ai trong số chúng giải quyết chính xác vấn đề trên.$K_{1,3}$$P_4$

Liệt kê tất cả những bài báo ở đây sẽ hơi tẻ nhạt, nhưng hầu hết chúng đều được trích dẫn hoặc được trích dẫn bởi Dor và Tarsi .

20101024: Tôi tìm thấy bài báo này của Goldschmidt et al. , người chứng minh rằng vấn đề phân vùng cạnh của đồ thị thành các phần chứa các cạnh AT MOST , theo cách mà tổng các lệnh của các sơ đồ con cảm ứng nhiều nhất là t , hoàn thành NP, ngay cả khi k = 3 . Rõ ràng là vấn đề vẫn còn NP-đầy đủ trên đồ thị khối, khi chúng ta yêu cầu đẳng thức nghiêm ngặt wrt k ?$k$$t$$k=3$$k$

Thông tin thêm

Tôi đã thử một số chiến lược thất bại. Chính xác hơn, tôi đã tìm thấy một số mẫu phản biện chứng minh rằng:

• tối đa hóa số lượng hình tam giác không dẫn đến một giải pháp tối ưu; mà tôi thấy bằng cách nào đó phản trực giác, vì hình tam giác là những đồ thị con có thứ tự thấp nhất trong số tất cả các đồ thị có thể có trên ba cạnh;

• phân vùng đồ thị thành các thành phần được kết nối cũng không nhất thiết dẫn đến một giải pháp tối ưu. Lý do tại sao nó có vẻ hứa hẹn có thể ít rõ ràng hơn, nhưng trong nhiều trường hợp, người ta có thể thấy rằng việc hoán đổi các cạnh để kết nối một sơ đồ con nhất định dẫn đến một giải pháp có trọng lượng nhỏ hơn (ví dụ: thử trên một tam giác có một cạnh bổ sung được kết nối với mỗi cạnh đỉnh, tam giác là một phần, phần còn lại là một giây, với tổng trọng số 3 + 6 = 9. Sau đó, trao đổi hai cạnh cho một đường dẫn và một ngôi sao, với tổng trọng lượng 4 + 4 = 8.)

Đây là một gợi ý cho cách thể hiện NP khó. Tôi không biết nếu điều này làm việc hay không. Đầu tiên, hãy xem xét cùng một vấn đề trên nhiều chữ. Độ cứng NP có thể dễ dàng hơn để chứng minh ở đó. Hãy thử giảm từ khối MAX CUT mà NP khó thậm chí gần đúng (Berman và Karpinki "Trên một số kết quả không thể đạt được gần đúng hơn"). Chia mỗi cạnh thành hai và tại mỗi đỉnh độ 2 mới gắn một đỉnh với vòng lặp tự. Có phân vùng tối đa của bạn tương ứng với một cắt giảm tối đa?

-

Đây là một lời giải thích thêm một chút.

(1) Vấn đề tối đa hóa (số lượng nguồn + số lượng chìm) trên tất cả các định hướng của đồ thị khối có liên quan đến MAXCUT bởi một số hàm tuyến tính. Điều này đòi hỏi phải thể hiện một số điểm tương quan giữa các lần cắt tối đa và các nguồn và hướng chìm tối đa. Theo một hướng, trong một đường cắt tối đa (U, V), chúng ta có thể định hướng tất cả các cạnh từ U đến V. Các cạnh bên trong E (U) tạo thành một khớp, do đó chúng có thể được định hướng tùy ý và tương tự cho E (V), và tổng số nguồn và mức chìm là một số hàm tuyến tính có kích thước của vết cắt. Theo hướng khác, được định hướng tối đa về nguồn và mức chìm, phân vùng U = các đỉnh ở mức 0 hoặc 1, V = các đỉnh ở mức 2 hoặc 3 sẽ cắt.

(2) Trong phép biến đổi cạnh đôi mà tôi đã mô tả ở trên, trong một cấu hình tối ưu, mỗi vòng lặp được tô màu giống như cạnh bên cạnh và làm cho cạnh đó được tô màu giống như một số cạnh khác (không phải vòng lặp) bên cạnh cái đó. Vì vậy, mỗi cạnh bị cắt có một màu đến từ vòng lặp đính kèm của nó và một màu khác. Điều này tương ứng với một định hướng và (1) được áp dụng.