Hạn chế ngẫu nhiên và kết nối với ảnh hưởng tổng của các hàm Boolean


9

Giả sử chúng ta có hàm Boolean và chúng tôi áp dụng hạn chế -random trên . Ngoài ra, giả sử rằng cây quyết định tính toán co lại thành kích thước là kết quả của hạn chế ngẫu nhiên. Điều này có nghĩa là có tổng ảnh hưởng rất thấp?δ f T f O ( 1 ) ff:{1,1}n{1,1}δfTfO(1)f


δ là hằng số từ 0 đến 1 và không phụ thuộc vào n?
Kaveh

1
Đúng. Thật vậy . δ[0,1]
Amit Levi

1
Tôi không chắc đó có phải là thứ bạn đang tìm kiếm hay không, nhưng bằng bổ đề chuyển đổi, nếu một chức năng có thể được biểu thị bằng một DNF có chiều rộng nhỏ, thì nó sẽ co lại thành cây quyết định có kích thước không đổi. Các DNF có chiều rộng nhỏ có tổng ảnh hưởng thấp và người ta có thể thể hiện các cây quyết định thông qua các DNF, vì vậy về mặt đạo đức có vẻ như đây là trường hợp.

Câu trả lời:


4

Yêu cầu: Nếu -random hạn chế của có cây quyết định có kích thước (theo kỳ vọng), thì tổng ảnh hưởng của là .f O ( 1 ) f O ( δ - 1 )δfO(1)fO(δ1)

Bằng chứng phác thảo: Theo định nghĩa về ảnh hưởng, chúng ta có . Hãy để chúng tôi giới hạn trên bằng cách trước tiên áp dụng một -restriction, sau đó chọn trong số các tọa độ còn lại và sửa tại ngẫu nhiên mọi thứ trừ .Inf(f)=nPrx,i[f(x)f(x+ei)]δ i [ n ] x iPrx,i[f(x)f(x+ei)]δi[n]xi

Bây giờ, nếu -restriction làm giảm cây quyết định của thành kích thước , thì cụ thể là -restriction của phụ thuộc vào phối hợp. Bây giờ chúng ta chọn một tọa độ không trộn ngẫu nhiên (trong số ) và sửa tất cả các tọa độ khác một cách ngẫu nhiên. Do -restriction của phụ thuộc vào tối đa tọa độ , nên chúng ta có một hàm (trên một bit) không phải là hằng số với xác suất nhiều nhất là . Do đó, , theo yêu cầu.f O ( 1 ) δ f r = O ( 1 ) δ n δ f r rδfO(1)δfr=O(1)δnδfrrδnInf(f)=nPrx,i[f(x)f(x+ei)]rδ

Lưu ý: Khiếu nại ở trên rất chặt chẽ bằng cách lấy hàm chẵn lẻ trên các bit .O(1/δ)

Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.