Hạn chế ngẫu nhiên và kết nối với ảnh hưởng tổng của các hàm Boolean

Giả sử chúng ta có hàm Boolean và chúng tôi áp dụng hạn chế -random trên . Ngoài ra, giả sử rằng cây quyết định tính toán co lại thành kích thước là kết quả của hạn chế ngẫu nhiên. Điều này có nghĩa là có tổng ảnh hưởng rất thấp?δ f T f O ( 1 ) $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$$\delta$$f$$T$$f$$O(1)$$f$

Yêu cầu: Nếu -random hạn chế của có cây quyết định có kích thước (theo kỳ vọng), thì tổng ảnh hưởng của là .f O ( 1 ) f O ( δ - 1$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

Bằng chứng phác thảo: Theo định nghĩa về ảnh hưởng, chúng ta có . Hãy để chúng tôi giới hạn trên bằng cách trước tiên áp dụng một -restriction, sau đó chọn trong số các tọa độ còn lại và sửa tại ngẫu nhiên mọi thứ trừ .$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$δ i ∈ [ n ] x $\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

Bây giờ, nếu -restriction làm giảm cây quyết định của thành kích thước , thì cụ thể là -restriction của phụ thuộc vào phối hợp. Bây giờ chúng ta chọn một tọa độ không trộn ngẫu nhiên (trong số ) và sửa tất cả các tọa độ khác một cách ngẫu nhiên. Do -restriction của phụ thuộc vào tối đa tọa độ , nên chúng ta có một hàm (trên một bit) không phải là hằng số với xác suất nhiều nhất là . Do đó, , theo yêu cầu.f O ( 1 ) δ f r = O ( 1 ) δ n δ f r $\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Lưu ý: Khiếu nại ở trên rất chặt chẽ bằng cách lấy hàm chẵn lẻ trên các bit .$O(1/\delta)$