Có cực đại cục bộ về số lần di chuyển cần thiết để giải khối Rubik không?

Peter Shor đã đưa ra một điểm thú vị liên quan đến nỗ lực trả lời một câu hỏi trước đó về sự phức tạp của việc giải khối lập phương Rubiks . Tôi đã đăng một nỗ lực khá ngây thơ để cho thấy rằng nó phải được chứa trong NP. Như Peter đã chỉ ra, cách tiếp cận của tôi thất bại trong một số trường hợp. Một trường hợp tiềm năng của một trường hợp như vậy là khi tồn tại cực đại cục bộ trong chiều dài đường dẫn. Điều này có nghĩa là tôi có thể phải di chuyển S A để giải khối lập phương từ cấu hình A và S A hoặc S A - 1 di chuyển để giải quyết khối từ bất kỳ vị trí nào có thể đạt được trong một lần di chuyển từ$n \times n \times n$$S_A$$A$$S_A$$S_A - 1$ . Bây giờ, đây không hẳn là một vấn đề như vậy nếu S $A$$S_A$là số lần di chuyển tối đa cần thiết để giải quyết khối lập phương nói chung ( Số của Chúa cho khối đó), nhưng chắc chắn là một vấn đề nếu hoàn toàn nhỏ hơn Số của Chúa cho khối đó. Vì vậy, câu hỏi của tôi là làm tối đa địa phương như vậy tồn tại? Thậm chí là một câu trả lời cho$S_A$ cũng sẽ được tôi quan tâm.$3 \times 3 \times 3$

Hỏi Tomas Rokicki câu hỏi này ngay lập tức mang lại câu trả lời đúng ("vâng, cực đại địa phương tồn tại"):

Nếu một vị trí thể hiện sự đối xứng hoàn toàn, thì đó là điều cần thiết tối đa cục bộ (tất cả ngoại trừ điểm bắt đầu). Một chút suy nghĩ sẽ làm rõ lý do tại sao đây là trường hợp trong QTM [số liệu theo quý]. Đối với HTM [số liệu nửa vòng quay], nó tinh tế hơn một chút nhưng không quá tệ.

...

Một vị trí như vậy là pons asinorum, đó là khoảng cách 12 trong QTM và khoảng cách 6 trong HTM (U2D2F2B2L2R2).

Tôi không thấy lý do tại sao đây là trường hợp cho số liệu nửa lượt; nhưng đối với số liệu quý lượt thì rõ ràng. Trong một vị trí có tổng đối xứng, tất cả các vị trí lân cận phải có cùng độ dài đường dẫn (vì tất cả các chuyển động đều tương đương bởi tính đối xứng). Vì vậy, một vị trí có tổng đối xứng phải là tối đa cục bộ hoặc tối thiểu cục bộ nghiêm ngặt. Nhưng cực tiểu địa phương nghiêm ngặt không thể tồn tại ... phải có một số di chuyển làm giảm khoảng cách đến trạng thái đã giải quyết, chỉ bằng định nghĩa của khoảng cách. Đối số đối xứng chuyển thành khối , cũng như vị trí ví dụ được cung cấp.$n \times n \times n$

Đây là một lập luận cực kỳ heuristic cho thấy nơi có thể tìm thấy cực đại cục bộ. Gọi là số vị trí yêu cầu chính xác d di chuyển để giải. Mỗi lần di chuyển từ vị trí như vậy sẽ đưa khối lập phương đến khoảng cách d - 1 , d hoặc d + 1 ; do đó có tổng số vị trí N d - 1 + N d + N d + 1 có thể truy cập được. Có M di chuyển từ mỗi vị trí, dẫn đến M vị trí mới; một vị trí ở khoảng cách $N_d$$d$$d-1$$d$$d+1$$N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$$M$$M$$d$là mức tối đa cục bộ khi không có vị trí nào trong số này ở khoảng cách d + 1 . Nếu chúng ta lấy các vị trí này để được rút ra một cách ngẫu nhiên từ các vị trí có thể truy cập (tất nhiên, chúng không có, đây là phần heuristic), chúng ta có:$M$$d+1$

$d$$N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$$M=18$$N_d$$N_{16} X_{16} = 0.2$$N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$$N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$$d \le 16$$d=17$$12 \times 10^{18}$$d=18$