Đếm số chu kỳ Hamilton trong đồ thị khối Hamilton?

Đó là -hard để tìm một xấp xỉ hệ số gần đúng của chu kỳ dài nhất trong các đồ thị Hamilton khối. Đồ thị hình khối Hamilton có ít nhất hai chu kỳ Hamilton.$NP$

Giới hạn trên và giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất về số chu kỳ Hamilton trong đồ thị Hamilton là gì? Cho một đồ thị Hamilton khối, độ phức tạp của việc tìm số chu kỳ Hamilton là gì? Có phải là # -hard?$P$

Đếm các mạch Hamilton trong đồ thị Hamilton 3 thông thường là # P-đầy đủ, như sau.

Bằng chứng phác thảo . Tư cách thành viên trong #P là tầm thường, vì vậy chúng tôi sẽ chỉ hiển thị độ cứng # P.

Phần 3 của Liśkiewicz, Ogihara và Toda [LOT03] cho thấy việc đếm các mạch Hamilton trong đồ thị 3 mặt phẳng (và trên thực tế cùng một lúc) là # P-hoàn chỉnh. Hơn nữa, việc giảm từ # 3SAT ánh xạ công thức 3CNF thỏa đáng sang đồ thị Hamilton. Do đó, bạn có thể giảm # 3SAT để đếm các mạch Hamilton trong đồ thị Hamilton 3 thông thường bằng cách trước tiên thêm một giải pháp tầm thường vào công thức 3CNF đã cho và sau đó giảm nó thành đếm các mạch Hamilton bằng cách sử dụng giảm trong [LOT03]. QED .

[LÔ03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara và Seinosuke Toda. Sự phức tạp của việc đếm các bước đi tự tránh trong các sơ đồ con của lưới hai chiều và hypercubes. Khoa học máy tính lý thuyết , 304 (1 Từ3): 129 Từ156, tháng 7 năm 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$

$2^{n/2}$

Một số đồ thị có chính xác ba mạch hamiltonian:

http: // onlinel Library.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abab

Nếu người ta bắt đầu với đồ thị mặt phẳng của tứ diện, chứa chính xác ba mạch hamiltonian và tạo ra một đồ thị 3 mặt phẳng mới bằng cách cắt một đỉnh đơn, người ta sẽ có một đồ thị mới có chính xác ba mạch hamiltonian. Nếu một người tiếp tục cắt một đỉnh tại một thời điểm, người ta sẽ có một họ đồ thị với chính xác ba mạch hamiltonian.

Bình luận thêm:

Cũng có một số nghiên cứu về câu hỏi đồ thị nào ngoài chu kỳ có chính xác một mạch hamiltonion:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abab

Một bài khảo sát rất hay về các mạch hamltionian trong các loại biểu đồ đặc biệt có một phần liên quan đến số lượng các mạch hamiltonian, và sửa một số vấn đề với bài báo ở trên là:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf