Là khu vực khả thi của đa diện SDP này?

Chúng tôi có một chương trình semidefinite (SDP) có vùng khả thi chỉ chứa một số hữu hạn các ma trận xếp hạng- . Chúng ta có thể kết luận rằng khu vực khả thi của SDP này là đa diện không?$1$

Chúng tôi tin rằng điều này là đúng vì phần 'vòng tròn' của hình nón của ma trận bán nguyệt là do ma trận bậc cực đoan . Bất kỳ ranh giới 'cong' nào của vùng khả thi phải xảy ra từ vô số tia cực đại.$1$

Kết quả là, chúng ta có thể tuyên bố rằng SDP này có thể được giải quyết chính xác trong thời gian đa thức giống như các chương trình tuyến tính cũng có vùng khả thi đa diện không?

Không, ngay cả khi có một số hữu hạn các ma trận xếp hạng 1 khả thi, vùng khả thi của SDP không nhất thiết phải là đa diện.

Một spectrahedron bạn xem tất cả thời gian trong các ứng dụng là , tức là tập hợp các ma trận Gram của n vectơ đơn vị. Đây là, ví dụ, khu vực khả thi cho việc thư giãn SDP của Goemans-Williamson cho MaxCut. Không thể có nhiều hơn 2 n ma trận hạng 1 trong S n , bởi vì x x T ∈ S n ngụ ý x 2 i$S_n = \{X: X \succeq 0, X_{11} = \ldots = X_{nn} = 1\}$$n$$2^n$$S_n$$xx^T \in S_n$ cho tất cả i , và do đó x ∈ { - 1 , 1 } n .$x_i^2 = 1$$i$$x \in \{-1, 1\}^n$

Bây giờ hãy xem . Viết$S_3$

Theo tiêu chí của Sylvester , khi và chỉ khi tất cả các vị thành niên chính không âm. Điều này đưa ra các bất đẳng thức sau: x 2 , y 2 , z $X \succeq 0$ Ba bất bình đẳng đầu tiên xuất phát từ văn bản cho 2-by-2 trẻ vị thành niên, và người cuối cùng xuất phát từ văn bản yếu tố quyết định củaX.

Bây giờ dễ dàng thấy bộ này không phải là đa diện. Ví dụ: đặt tập hợp là hình chiếu của S 3 lên các biến tự do x , y , z và xem xét U = T ∩ { ( x , y , z ) : z = 0 } . Các tập hợp đa diện vẫn là đa diện sau khi chiếu trực giao và giao với các nửa không gian, vì vậy nếu S 3 là đa diện thì U cũng vậy. Nhưng U = { ( x , $T$$S_3$$x, y, z$$U = T \cap \{(x, y, z): z = 0\}$$S_3$$U$ là một đĩa.$U = \{(x, y, 0): x^2 + y^2 \leq 1\}$

Trong thực tế cũng có một đối số hình học trực tiếp rằng là một đĩa. Nếu X là ma trận Gram của các vectơ u , v , w , thì đặt z = 0 có nghĩa là v ⊥ w và ( x , y ) là tọa độ hình chiếu của u lên mặt phẳng được kéo dài bởi v và w , được biểu thị bằng cơ sở trực giao được đưa ra bởi v và w . Vì u có thể là bất kỳ vectơ đơn vị nào, ( x , $U$$X$$u, v, w$$z = 0$$v \perp w$$(x, y)$$u$$v$$w$$v$$w$$u$ có thể là bất kỳ vectơ có độ dài tối đa 1 .$(x,y)$$1$

Để minh họa, đây là bộ : $T$

Và ở đây bạn có thể thấy rằng là một đĩa:$U$