Các lớp tối đa mà tập độc lập lớn nhất có thể được tìm thấy trong thời gian đa thức?

Các ISGCI danh sách hơn 1100 loại đồ thị. Đối với nhiều người trong số chúng tôi biết liệu THIẾT BỊ ĐỘC LẬP có thể được quyết định trong thời gian đa thức hay không; đôi khi chúng được gọi là các lớp dễ IS . Tôi muốn biên soạn một danh sách các lớp dễ dàng tối đa IS. Các lớp này cùng nhau tạo thành ranh giới của khả năng lưu hành (đã biết) cho vấn đề này.

Vì người ta chỉ có thể thêm một số lượng đồ thị hữu hạn vào bất kỳ lớp dễ dàng vô hạn nào của IS mà không ảnh hưởng đến khả năng chuyển đổi, một số hạn chế được đưa ra. Chúng ta hãy giới hạn các lớp đối với các lớp di truyền (đóng khi lấy các sơ đồ con cảm ứng, hoặc tương đương, được xác định bởi một tập hợp các sơ đồ con cảm ứng bị loại trừ). Hơn nữa, chúng ta chỉ xem xét những gia đình không có X cho một bộ X với một mô tả nhỏ. Có thể là cũng có chuỗi tăng dần vô hạn của các tầng lớp dể làm (ví dụ như -miễn phí và các lớp mô tả bởi David Eppstein dưới đây), nhưng chúng ta hãy hạn chế sự chú ý đến các lớp học mà thực sự đã được chứng minh là dễ dàng.$(P,\text{star}_{1,2,k})$

Đây là những cái tôi biết:

• đồ thị hoàn hảo
• $(P,\text{star}_{1,2,5})$ miễn phí
• $(K_{3,3}-e, P_5)$ miễn phí
• đồng Meyniel
• gần lưỡng cực
• không có ghế
• ( , dế) miễn phí$P_5$
• $(P_5,K_{n,n})$ -free (đối với mọi cố định )$n$
• $(P_5, X_{82}, X_{83})$ miễn phí

Có phải các lớp tối đa khác như vậy được biết đến?

Chỉnh sửa: Xem thêm một câu hỏi có liên quan được hỏi bởi Yaroslav Bulatov đối phó với các lớp được xác định bởi vị thành niên bị loại trừ, điều gì dễ dàng cho các biểu đồ loại trừ nhỏ? và xem các thuộc tính toàn cầu của các lớp di truyền? cho một câu hỏi chung hơn tôi đã hỏi trước đây về các lớp di truyền.

Như Jukka Suomela chỉ ra trong các bình luận, trường hợp loại trừ nhỏ cũng rất thú vị (và sẽ đưa ra một câu hỏi thú vị), nhưng đây không phải là trọng tâm ở đây.

Để tránh ví dụ của David, một lớp tối đa cũng phải được xác định là đồ thị không có X, trong đó không phải mọi đồ thị trong X đều có một đỉnh độc lập.

Các lớp học được đưa ra trong câu trả lời dưới đây:

• không có táo (được đề xuất bởi Standa ivný)
• ( , nhà) - miễn phí$P_5$ (được đề xuất bởi David Eppstein)
• ( móng vuốt) -miễn phí$K_2 \cup$ (được đề xuất bởi David Eppstein)

Đã thêm 2013-10-09: kết quả gần đây của Lokshtanov, Vatshelle và Villanger, được Martin Vatshelle đề cập trong một câu trả lời, thay thế một số lớp tối đa đã biết trước đó.

Cụ thể, -free là các phần phụ dễ dàng của IS ( P 5 , cricket) -free, ( P 5 , K n , n ) -free, ( P 5 , X 82 , X 83 ) -free, và ( P 5 , nhà) - miễn phí tất cả đều dễ dàng.$P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

Điều này có nghĩa là tất cả các lớp biểu đồ di truyền được xác định bởi một sơ đồ con bị cấm gây ra với tối đa năm đỉnh có thể được phân loại dứt khoát là dễ IS hoặc không dễ IS.

Thật không may, bằng chứng cho thấy các đồ thị không có tạo thành một lớp dễ IS dường như không hoạt động đối với các đồ thị không có , do đó, biên giới tiếp theo là phân loại tất cả các lớp đồ thị di truyền được xác định bởi một đồ thị sáu đỉnh.$P_5$$P_6$

Tôi vẫn đặc biệt quan tâm đến các lớp dễ dàng của IS ở dạng -free cho một số bộ sưu tập của đồ thị với vô số các lớp đẳng cấu, nhưng trong đó -free không dễ dàng cho bất kỳ .$X$$X$$Y$$Y \subset X$

Câu hỏi đã cũ hơn một chút, nhưng ISGCI có thể giúp đỡ ở đây.

Khi bạn khởi động ứng dụng Java ISGCI và vào menu Các vấn đề -> Ranh giới / Mở các lớp -> Tập độc lập, bạn nhận được một hộp thoại với 3 danh sách.

Danh sách Maximal P chứa tất cả các lớp C (trong ISGCI) mà IS có thể được giải quyết trong thời gian đa thức, sao cho có một siêu lớp tối thiểu của C mà IS không được biết là thuộc P (ví dụ NP hoàn chỉnh, mở hoặc ISGCI chưa biết). Chọn một lớp và nhấp vào 'Vẽ' sẽ vẽ lớp và các siêu lớp được tìm thấy bằng cách đi bộ theo kiểu BFS lên trên hệ thống phân cấp bao gồm cần thiết để tìm một lớp mà IS không biết là có trong P.

Danh sách NP-Complete tối thiểu đi theo một cách khác: Nó chứa các lớp mà IS hoàn thành NP, sao cho không phải tất cả các lớp con tối đa cũng hoàn thành NP. Bản vẽ đi xuống trong hệ thống phân cấp cho đến khi tìm thấy một lớp không hoàn thành NP.

Danh sách mở chứa các lớp mà vấn đề là mở hoặc không xác định. Vẽ đi trên siêu / lớp con cho đến khi đạt được một lớp không mở.

Khi tạo bản vẽ, bạn nên đặt màu cho vấn đề Bộ độc lập (Vấn đề -> Màu cho vấn đề -> Bộ độc lập).

Liên quan đến câu hỏi của Standa Zivny, 20 lớp sau được liệt kê trong ISGCI với độ phức tạp đã biết đối với vấn đề IS không trọng số, nhưng với độ phức tạp chưa biết đối với trường hợp có trọng số (ISGCI không thể phân biệt giữa thuật toán đa thức "đơn giản" và "phức tạp"):

gc_11 mở rộng P ₄ -laden
gc_128 EPT
gc_415 cũng bao phủ
gc_428 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₈ ) -miễn phí
gc_648 (K _3,3 -e, P ₅ ) -miễn phí
gc_752 đồng di truyền bè lũ-Helly
gc_756 (E, P)
-free gc_757 (P, T ₂ )
-free gc_758 (P, P ₈ )
-free gc_759 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₉ )
-free gc_808 (C ₆ , K _{3, 3} + e, P, P ₇ , X ₃₇ , X ₄₁ ) không có
gc_811 (P, sao_1,2,5 )
-free gc_812 (P ₅ , P ₂ P ₃ )
-free gc_813 (P, P ₇ )
-free gc_818 (P, sao _1,2,3 )
-free gc_819 (P, sao _{1, 2,4} )
-free gc_841 (2K ₃ + e, A, C ₆ , E, K _3,3 -e, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X₉₈ , A, C ₆ , E, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X ₉₈ , ăng-ten, đồng ăng-ten, co-domino, co-fish, co-Twin-house, domino, fish, Twin-house)
-free gc_894 co-tròn hoàn hảo
gc_895 tròn hoàn hảo mạnh mẽ
(3K ₂ , E, P ₂ ∪ P ₄ , mạng) miễn phí

Không nghi ngờ gì, một số trong số này sẽ có các thuật toán đã biết cho trường hợp có trọng số là tốt. Bổ sung và chỉnh sửa luôn được chào đón tại địa chỉ được cung cấp trên trang web ISGCI!

Một bài báo thú vị để xem có thể là:

A. Brandstadt, VV Lozin, R. Mosca: Các tập hợp độc lập về trọng lượng tối đa trong đồ thị không có Apple, Tạp chí SIAM về Toán học rời rạc 24 (1) (2010) 239 đuổi254. doi: 10.1137 / 090750822

Lớp táo vô hạn được định nghĩa là các chu kỳ C_k, k> = 5, mỗi chu kỳ có một cuống.

Bạn không đề cập đến việc liệu khái niệm về sự dễ dàng của IS có bao gồm vấn đề IS có trọng số hay không. Đồ thị không có ghế (còn gọi là đồ thị không có ngã ba) được biết là dễ IS:

VE Alekseev, thuật toán đa thức để tìm các tập độc lập lớn nhất trong đồ thị không có dĩa, Toán học ứng dụng rời rạc 135 (1-3) (2004) 3 Lỗi16. doi: 10.1016 / S0166-218X (02) 00290-1

Khả năng dễ dàng của trường hợp có trọng số là một phần mở rộng không tầm thường, xem:

VV Lozin, M. Milanic: Một thuật toán đa thức để tìm một tập hợp độc lập có trọng số tối đa trong một biểu đồ không có ngã ba, Tạp chí Thuật toán rời rạc 6 (4) (2008) 595. doi: 10.1016 / j.jda.2008.04.001

Có lớp học nào khác (thú vị) trong đó vấn đề IS có trọng số khó khăn hơn / khó hiểu / mở hơn đáng kể so với trường hợp không có trọng số không?

Theo Vassilis Gia Khẩumakis và Irena Rusu, Disc. Táo. Môn Toán. 1997 , đồ thị không có (P5, house) (hay còn gọi là (P5, coP5) không có đồ thị).

Một số khác, được ISGCI ghi nhận cho V. Lozin, R. Mosca Disc. Táo. Môn Toán. 2005 , là họ của đồ thị không có (K2 u claw) .

Cũng có thể có các chuỗi tăng dần vô hạn của các lớp có thể kéo

Chắc chắn có chuỗi tăng dần vô hạn. Nếu H là một tập hợp hữu hạn các đồ thị mà đồ thị không có H dễ IS, thì H 'là các đồ thị được hình thành thêm một đỉnh độc lập cho mỗi đồ thị trong H. Sau đó, đồ thị không có H' cũng dễ IS: chỉ cần áp dụng thuật toán H-free cho các tập hợp không lân cận của mỗi đỉnh. Ví dụ, như ISGCI mô tả, các đồ thị không có đá quý không dễ bị IS vì lý do đồng đá quý là P4 cộng với một đỉnh độc lập và đồ thị không có P4 là dễ dàng. Vì vậy, bạn có thể muốn giới hạn câu hỏi của mình trong các lớp tối đa, trong đó không phải tất cả các sơ đồ con bị cấm đều có một đỉnh độc lập.

$P_5$

Đặt H là một đồ thị trên nhiều nhất 5 đỉnh, thì độ phức tạp của tập độc lập được biết đến trên lớp đồ thị không có H.

$P_5$$H = P_2 \cup P_3$