Một lời giải thích hoàn toàn theo lý thuyết đồ thị về việc giảm từ Bìa nhãn duy nhất xuống Max-Cut

Tôi đang nghiên cứu phỏng đoán trò chơi độc đáo và bản rút gọn nổi tiếng của Max-Cut of Khot et al. Từ bài báo của họ và các nơi khác trên internet, hầu hết các tác giả sử dụng (đối với tôi là gì) một sự tương đương ngầm giữa việc giảm MAX-CUT và xây dựng các thử nghiệm cụ thể cho các mã dài. Vì sự thiếu rõ ràng của bản thân về sự tương đương đó, tôi phải vật lộn để đi theo dòng suy nghĩ này.

Cũng có vẻ rõ ràng từ các giải trình này rằng người ta có thể mô tả sự giảm hoàn toàn về mặt đồ thị, nhưng bởi sự trùng hợp hoặc sở thích không ai chọn làm theo cách đó. Ví dụ, trong các ghi chú bài giảng của O'Donnell, ông gợi ý rằng bài kiểm tra mã dài tương ứng với định nghĩa tự nhiên của các cạnh trong biểu đồ được xây dựng, nhưng vì nó không được nêu ra nên quy tắc đó dường như phụ thuộc vào sự lựa chọn cắt để xác định hàm boolean đang được thử nghiệm và nó khiến tôi khá bối rối.

Vì vậy, tôi đang yêu cầu ai đó giải thích biểu đồ "chỉ" về mặt lý thuyết. Tôi nghĩ rằng điều này sẽ giúp tôi hiểu sự tương đương giữa hai quan điểm.

Hãy để tôi xem nếu tôi có thể làm rõ điều này, ở mức độ cao. Giả sử trường hợp UG là một song phương graph , bijections { π e } e ∈ E , nơi π e : Σ → Σ , và | Σ | = m . Bạn muốn xây dựng một đồ thị mới H do đó nếu trường hợp UG là 1 - δ satisfiable, sau đó H có một vết cắt lớn, và nếu trường hợp UG không phải là thậm chí δ -satisfiable, sau đó$G = (V \cup W, E)$$\{\pi_e\}_{e \in E}$$\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$$|\Sigma| = m$$H$$1-\delta$$H$$\delta$ chỉ có vết cắt rất nhỏ.$H$

Đồ thị chứa, đối với mỗi đỉnh trong W , một đám mây 2 m điểm, mỗi nhãn bởi một số x ∈ { - 1 , 1 } Σ . Mục đích là bạn sẽ có thể giải thích một mã dài mã hóa của các nhãn của W như một vết cắt của H . Nhớ lại rằng để mã hóa một số σ ∈ Σ với mã dài, bạn sử dụng một hàm boolean f : { - 1 , 1 } Σ → { - 1 , 1 $H$$W$$2^m$$x \in \{-1, 1\}^\Sigma$$W$$H$$\sigma \in \Sigma$$f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$; đặc biệt nó là chức năng độc tài . Chúng ta hãy tạo ra một S ∪ T (nghĩa là phân vùng hai đỉnh) từ mã hóa dài như sau. Nếu w ∈ W có nhãn được mã hóa bởi hàm boolean f , hãy chuyển đến đám mây của các đỉnh trong H tương ứng với w và đặt vào S tất cả các đỉnh trong đám mây được gắn nhãn bởi một số x mà f ( x ) = 1 . Tất cả những người khác đi đến $f(x) = x_\sigma$$S\cup T$$w \in W$$f$$H$$w$$S$$x$$f(x) = 1$$T$. Bạn có thể làm ngược này để gán chức năng boolean cho tất cả các dựa trên một vết cắt của H .$w \in W$$H$

Để việc giảm hoạt động, bạn chỉ có thể biết được bằng cách xem giá trị của một lần cắt $S\cup T$ xem các hàm boolean tương ứng với vết cắt có gần với mã hóa mã dài của một số gán nhãn cho không đáp ứng rất nhiều những hạn chế UG của G . Vì vậy, câu hỏi là những thông tin chúng ta nhận được từ các giá trị của một vết cắt S ∪ T . Hãy xem xét bất kỳ hai đỉnh một với nhãn x trong đám mây tương ứng với w và b với nhãn y trong đám mây tương ứng với w $W$$G$$S \cup T$$a$$x$$w$$b$$y$$w'$(trong phần giảm chúng ta chỉ nhìn vào , w ′ trong các đám mây khác nhau). Chúng tôi cho rằng, việc cắt giảm có thể được sử dụng để chức năng boolean lấy f w và e w ' . Bây giờ nếu có một cạnh ( một , b ) trong H , sau đó ( một , b ) là cắt khi và chỉ khi f w ( x ) ≠ f w ' ( y $w$$w'$$f_w$$f_{w'}$$(a,b)$$H$$(a, b)$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$. Do đó, chỉ sử dụng các giá trị của một vết cắt để biết các chức năng boolean nó gây ra là "tốt" cũng giống như việc có một bài kiểm tra đó, đưa ra các chức năng boolean , chỉ yêu cầu những gì phần nhỏ của một số danh mục quy định các cặp ( ( w , x ) , ( w ' , y ) ) chúng ta có f w ( x ) ≠ f w ' ( y ) .$\{f_w\}_{w \in W}$$((w, x), (w', y))$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$

$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$H$$w$$x$$w'$$y$$v\in V$$w, w'$$x,y \in \{-1, 1\}^n$$w$$x\circ \pi_{v,w}$$w'$$y \circ \pi_{v,w'}$$(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$$d$$x$$y$