Điều gì tách biệt các vấn đề toàn cầu dễ dàng với các vấn đề toàn cầu khó khăn trên biểu đồ của treewidth bị ràng buộc?

Rất nhiều vấn đề về đồ thị cứng có thể giải quyết được trong thời gian đa thức trên đồ thị của treewidth giới hạn . Thật vậy, sách giáo khoa thường sử dụng ví dụ độc lập được đặt làm ví dụ, đây là một vấn đề cục bộ . Một cách thô bạo, một vấn đề cục bộ là một vấn đề mà giải pháp của họ có thể được xác minh bằng cách kiểm tra một số vùng lân cận nhỏ của mọi đỉnh.

Thật thú vị, ngay cả các vấn đề (như đường dẫn Hamilton) có tính chất toàn cầu vẫn có thể được giải quyết một cách hiệu quả cho các đồ thị treewidth bị ràng buộc. Đối với các vấn đề như vậy, các thuật toán lập trình động thông thường phải theo dõi tất cả các cách mà giải pháp có thể đi qua dải phân cách tương ứng của phân tách cây (xem ví dụ [1]). Các thuật toán ngẫu nhiên (dựa trên cái gọi là cut'n'count) đã được đưa ra trong [1] và các thuật toán cải tiến (thậm chí là xác định) đã được phát triển trong [2].

Tôi không biết có công bằng không khi nói nhiều như vậy, nhưng ít nhất một số vấn đề toàn cầu có thể được giải quyết một cách hiệu quả đối với các biểu đồ của treewidth bị ràng buộc. Vậy những vấn đề còn tồn tại trên các biểu đồ như vậy thì sao? Tôi cho rằng chúng cũng có bản chất toàn cầu, nhưng còn gì nữa không? Điều gì ngăn cách những vấn đề toàn cầu khó khăn này với những vấn đề toàn cầu có thể được giải quyết một cách hiệu quả? Ví dụ, làm thế nào và tại sao các phương thức đã biết không cung cấp cho chúng tôi các thuật toán hiệu quả cho chúng?

Ví dụ: người ta có thể xem xét (các) vấn đề sau:

Mở rộng precoloring cạnh Cho một đồ thị với một số cạnh màu, quyết định xem màu này có thể được mở rộng đến một thích hợp -edge-tô màu của đồ thị .k $G$$k$$G$

Phần mở rộng tiền màu cạnh (và biến thể tô màu cạnh danh sách của nó) là NP hoàn chỉnh cho các đồ thị song song loạt bipartite [3] (các đồ thị như vậy có nhiều nhất là 2).

Tô màu cạnh tổng tối thiểu Cho đồ thị , tìm màu tô cạnh sao cho nếu và có một đỉnh chung thì . Mục tiêu là để giảm thiểu , tổng của màu.χ : E → N e 1 e 2 χ ( e 1 ) ≠ χ ( e 2 ) E ' χ ( E ) = Σ e ∈ E χ ( e $G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

Nói cách khác, chúng ta phải gán các số nguyên dương cho các cạnh của đồ thị sao cho các cạnh liền kề nhận được các số nguyên khác nhau và tổng các số được gán là tối thiểu. Vấn đề này là NP-hard cho một phần 2 cây [4] (tức là đồ thị của treewidth nhiều nhất là 2).

Các vấn đề khó khăn khác như vậy bao gồm vấn đề đường dẫn tách rời, vấn đề đẳng cấu đồ thị con và vấn đề băng thông (xem ví dụ [5] và các tham chiếu trong đó). Đối với các vấn đề vẫn còn khó khăn ngay cả trên cây, xem câu hỏi này .

[1] Cygan, M., Nederlof, J., Pilipczuk, M., van Rooij, JM, & Wojtaszchot, JO (2011, tháng 10). Giải quyết các vấn đề kết nối được tham số hóa bởi treewidth trong thời gian theo cấp số nhân. Trong các nền tảng của Khoa học máy tính (FOCS), Hội nghị thường niên lần thứ 52 của IEEE năm 2011 (trang 150-159). IEEE.

[2] Bodlaender, HL, Cygan, M., Kratsch, S., & Nederlof, J. (2013). Các thuật toán thời gian theo cấp số nhân xác định cho các vấn đề kết nối được tham số hóa bởi treewidth. Trong Automata, Ngôn ngữ và Lập trình (trang 196-207). Mùa xuân Berlin Heidelberg.

[3] Marx, D. (2005). NP tính đầy đủ của danh sách tô màu và mở rộng tiền màu trên các cạnh của đồ thị phẳng. Tạp chí lý thuyết đồ thị, 49 (4), 313-324.

[4] Marx, D. (2009). Kết quả phức tạp cho màu tổng cạnh tối thiểu. Toán ứng dụng rời rạc, 157 (5), 1034-1045.

[5] Nishizeki, T., Vygen, J., & Zhou, X. (2001). Vấn đề đường dẫn tách rời cạnh là NP-hoàn chỉnh cho các đồ thị song song hàng loạt. Toán ứng dụng rời rạc, 115 (1), 177-186.

Hầu hết các thuật toán cho đồ thị của treewidth giới hạn được dựa trên một số hình thức lập trình động. Để các thuật toán này hoạt động hiệu quả, chúng ta cần ràng buộc số lượng trạng thái trong bảng lập trình động: nếu bạn muốn một thuật toán đa thức thời gian, thì bạn cần một số trạng thái đa thức (ví dụ: n ^ tw), nếu bạn muốn cho thấy vấn đề là FPT, bạn thường muốn chỉ ra rằng số lượng nhà nước là một số chức năng của treewidth. Số lượng trạng thái thường tương ứng với số loại giải pháp bộ phận khác nhau khi phá vỡ biểu đồ tại một số phân cách nhỏ. Do đó, một vấn đề rất dễ xảy ra đối với các đồ thị treewidth thường bởi vì các giải pháp một phần tương tác với thế giới bên ngoài thông qua một số đỉnh bị giới hạn chỉ có một số loại giới hạn. Ví dụ, trong bài toán tập độc lập, loại giải pháp một phần chỉ phụ thuộc vào các đỉnh biên được chọn. Trong bài toán chu trình Hamilton, loại giải pháp một phần được mô tả bằng cách các đường con của giải pháp một phần khớp với các đỉnh của đường biên với nhau. Các biến thể của Định lý của Courcelle đưa ra các điều kiện đủ cho một vấn đề để có thuộc tính mà các giải pháp một phần chỉ có một số loại giới hạn.

Nếu một vấn đề khó khăn trên đồ thị giới hạn, thì thường là do một trong ba lý do sau.

1. Có những tương tác trong vấn đề không được biểu đồ nắm bắt. Ví dụ, Steiner Forest là NP-hard trên đồ thị của treewidth 3, theo trực giác vì các cặp nguồn-đích tạo ra sự tương tác giữa các đỉnh không liền kề.

Elisabeth Gassner: Vấn đề rừng Steiner được xem xét lại. J. Thuật toán rời rạc 8 (2): 154-163 (2010)

MohammadHossein Bateni, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Dániel Marx: Các sơ đồ gần đúng cho rừng Steiner trên đồ thị phẳng và đồ thị của băng thông bị ràng buộc. J. ACM 58 (5): 21 (2011)

2. Vấn đề được xác định trên các cạnh của đồ thị. Sau đó, ngay cả khi một phần của biểu đồ được gắn vào phần còn lại của biểu đồ thông qua một số đỉnh bị giới hạn, có thể có nhiều sự cố cạnh với các đỉnh đó và sau đó chỉ có thể mô tả trạng thái của một giải pháp bằng cách mô tả trạng thái của Tất cả các cạnh. Đây là điều làm cho các vấn đề trong [3,4] trở nên khó khăn.

3. Mỗi đỉnh có thể có một số lượng lớn các trạng thái khác nhau. Ví dụ, Vỏ bọc điện dung là W [1] -được tham số hóa bởi treewidth, theo trực giác bởi vì mô tả của một giải pháp một phần không chỉ nêu rõ các đỉnh của dải phân cách đã được chọn, mà còn cho biết mỗi đỉnh của dải phân cách được chọn bao nhiêu lần Được sử dụng để che các cạnh.

Michael Dom, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Yngve Villanger: Sự thống trị và che phủ điện dung: Một viễn cảnh được tham số hóa. IWPEC 2008: 78-90

Đề nghị của tôi sẽ là xem xét kỹ định lý của Courcelle , rằng các vấn đề có thể biểu hiện trong (một số phần mở rộng nhất định) logic thứ hai đơn điệu có thuật toán FPT khi được tham số hóa bởi treewidth. Sự nghi ngờ của tôi là điều này bao gồm nhiều hoặc hầu hết các ví dụ đã biết về các vấn đề của FPT cho các biểu đồ này. Theo quan điểm này, sự khác biệt địa phương / toàn cầu của bạn dường như có liên quan chặt chẽ với sự khác biệt giữa các vấn đề rõ ràng trong MSO hiện tại so với các vấn đề có mức độ định lượng cao hơn trong các công thức MSO của họ. Để trở lại câu hỏi thực tế của bạn, việc thiếu một công thức MSO (có thể được chứng minh vô điều kiện trong nhiều trường hợp sử dụng các ý tưởng liên quan đến định lý Myhill Thẻ Nerode ) sẽ là bằng chứng cho việc thiếu thuật toán FPT (khó chứng minh hơn nếu không có giả định lý thuyết phức tạp).

Tôi nghĩ một trong những ví dụ như vậy là vấn đề cắt giảm ít nhất. Vấn đề cắt đồng nhất thưa thớt có thể giải quyết được trên các biểu đồ về chiều rộng của cây bị chặn nhưng vấn đề cắt thưa nhất có trọng số thậm chí không thể xấp xỉ (tốt hơn 17/16) trong các biểu đồ của treewidth bị chặn.

Có nhiều biến thể khác nhau của vấn đề cắt thưa nhất nhưng một trong những biến thể nổi tiếng là như sau.

$G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

Thành phần chính được làm từ hai điều:

1. Chức năng bổ sung, như ở đây chức năng trọng lượng. Nhưng vẫn còn một số vấn đề với hàm trọng lượng không quá khó trong các đồ thị vô hướng về chiều rộng của cây bị chặn.

2. Bản chất của vấn đề cắt thưa nhất. Trên thực tế tồn tại nhiều hơn một phụ thuộc cho lập trình động trong định nghĩa của vấn đề. Theo trực giác, giải pháp tốt là giải pháp mà chúng tôi phân vùng đồ thị (bằng cách loại bỏ một số cạnh) thành hai kích thước gần như bằng nhau, mặt khác trong phân vùng này, chúng tôi xóa số lượng cạnh ít nhất mà chúng tôi sử dụng. Lý do mà vấn đề khó khăn trong đồ thị treewidth bị ràng buộc là chúng ta nên áp dụng lập trình động theo hai hướng, nhưng cả hai hướng đều phụ thuộc vào nhau.

Nói chung, nếu vấn đề theo cách cần nhiều hơn một chiều cho lập trình động và cả các chiều đó phụ thuộc vào nhau thì vấn đề có thể khó xảy ra trong các biểu đồ có chiều rộng của cây. Chúng ta có thể thấy mô hình này trong cả hai vấn đề trong câu hỏi cũng như cho vấn đề cắt giảm ít nhất. (Trong bài toán đầu tiên, chúng tôi muốn giữ màu trước đó, hãy tô màu càng nhỏ càng tốt, trong bài toán thứ hai rõ ràng có hai hàm phụ thuộc lẫn nhau)