Tôi đang tìm kiếm một khảo sát tốt về các thuật toán và độ phức tạp của đại số tuyến tính (các phép toán như xếp hạng, nghịch đảo, giá trị riêng, ... cho Boolean, và ma trận số nguyên / hợp lý) với sự nhấn mạnh vào song song ( phân cấp ) và thuật toán polytime. Tôi không thể tìm thấy một cái gần đây.
Bạn có biết một khảo sát hay cuốn sách gần đây về sự phức tạp của đại số tuyến tính không?
Câu trả lời:
Hai tài liệu tham khảo bạn có thể thấy hữu ích:
D. Bini và V. Pan. Tính toán đa thức và ma trận, Tập 1: Thuật toán cơ bản. Tiến bộ trong khoa học máy tính lý thuyết, Birkhauser, 1994.
J. von zur Gathen. Đại số tuyến tính song song. Trong J. Reif, biên tập viên, Tổng hợp các thuật toán song song, chương 13. Morgan Kaufmann Publishers, Inc., 1993.
Chúng không nhất thiết phải gần đây, nhưng chúng là điểm khởi đầu tốt.
Làm thế nào về độ phức tạp thấp hơn giới hạn sử dụng Đại số tuyến tính ? Cuốn sách không chính xác như những gì bạn muốn, vì nó khảo sát các giới hạn thấp hơn bằng cách sử dụng đại số tuyến tính, không phải là sự phức tạp của các vấn đề đại số tuyến tính. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng dù sao nó cũng hữu ích, vì trước tiên cần phải nắm được sự phức tạp của các vấn đề đại số tuyến tính, và sau đó sử dụng nó để chứng minh giới hạn thấp hơn cho các vấn đề khác.
Dưới đây là mô tả của cuốn sách:
Mặc dù tiến bộ nhanh chóng đã được thực hiện ở các giới hạn trên (thuật toán), tiến bộ ở các giới hạn thấp hơn về sự phức tạp của các vấn đề rõ ràng vẫn chậm chạp mặc dù đã có nhiều nỗ lực trong nhiều thập kỷ. Như một lẽ tự nhiên với kết quả không thể điển hình, các câu hỏi ràng buộc thấp hơn là các vấn đề toán học khó và do đó khó có thể được giải quyết bằng các cuộc tấn công ad hoc. Thay vào đó, các kỹ thuật dựa trên các khái niệm toán học nắm bắt độ phức tạp tính toán là cần thiết. Độ phức tạp giới hạn dưới sử dụng Đại số tuyến tính khảo sát một số kỹ thuật để chứng minh giới hạn thấp hơn trong độ phức tạp Boolean, đại số và giao tiếp dựa trên các phương pháp đại số tuyến tính nhất định. Chủ đề chung của các phương pháp này là nghiên cứu các biện pháp mạnh mẽ của xếp hạng ma trậnmà nắm bắt sự phức tạp trong một mô hình nhất định. Giới hạn dưới mạnh mẽ phù hợp trên các chức năng mạnh mẽ như vậy của ma trận rõ ràng dẫn đến hậu quả quan trọng trong các mô hình mạch hoặc truyền thông tương ứng. Hiểu được sự phức tạp tính toán vốn có của các vấn đề có tầm quan trọng cơ bản trong toán học và khoa học máy tính lý thuyết. Độ phức tạp thấp hơn giới hạn sử dụng Đại số tuyến tính là một tài liệu tham khảo vô giá cho bất cứ ai làm việc trong lĩnh vực này.
Tái bút: Bạn đã yêu cầu một cuốn sách, nhưng tôi tin rằng bài viết này: Độ phức tạp tính toán của một số vấn đề của Đại số tuyến tính cũng hữu ích (tuy nhiên nó có từ năm 1999).
Cuốn sách này không đề cập rõ ràng đến các thuật toán song song, nhưng cuốn sách "Các vấn đề cơ bản của đại số thuật toán" của Yap là một tài liệu tham khảo rất hay và thảo luận về sự phức tạp của nhiều câu hỏi Đại số tuyến tính. Có một chương cụ thể về Hệ thống tuyến tính thảo luận về độ phức tạp thời gian / bit của phép tính xác định, đảo ngược ma trận, thuật toán dạng bình thường Hermite, trong số các thuật toán khác.
Cuốn sách cũng đề cập đến sự phức tạp của phép nhân, cơ sở Grobner và kỹ thuật Giảm mạng (như LLL). Tôi không thể giới thiệu nó đủ và tôi cá là bạn sẽ tìm thấy thứ gì đó có giá trị trong đó.