Liên kết sự thống nhất cho một lý thuyết về cateogries với khái niệm bộ xương

Nói rằng tôi làm việc trong lý thuyết loại đồng luân và các đối tượng nghiên cứu duy nhất của tôi là các thể loại thông thường.

Sự tương đương ở đây được đưa ra bởi functor và cung cấp các loại tương đương . Tồn tại các đẳng cấu tự nhiên và để functor này và "nghịch đảo" functor được chuyển đổi thành functor đơn vị.$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

Bây giờ sự thống nhất liên quan đến tương đương với loại nhận dạng của lý thuyết loại có chủ ý mà tôi đã chọn để nói về các danh mục. Vì tôi chỉ đối phó với các loại và những loại tương đương nếu chúng có bộ xương đẳng cấu , tôi tự hỏi liệu tôi có thể biểu thị tiên đề thống nhất về mặt chuyển đến bộ xương của các loại không.${\bf C}={\bf D}$

Hoặc, nếu không, tôi có thể xác định loại nhận dạng, nghĩa là biểu thức cú pháp theo cách chủ yếu nói "có một bộ xương (hoặc isomorphi) và và đều tương đương với nó. "?${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(Trong phần trên tôi cố gắng diễn giải lý thuyết loại theo các khái niệm dễ xác định hơn - các khái niệm lý thuyết phạm trù. Tôi nghĩ về điều này bởi vì về mặt đạo đức, dường như đối với tôi, tiên đề "sửa" lý thuyết loại có chủ ý bằng cách mã hóa cứng các nguyên tắc tương đương , mà đã là một phần tự nhiên của việc xây dựng báo cáo lý thuyết thể loại, ví dụ nêu rõ đối tượng duy nhất về tính phổ quát.)

Tôi giới thiệu bạn đến Chương 9 của cuốn sách HoTT. Cụ thể, một thể loại được định nghĩa theo cách các đối tượng đẳng cấu bằng nhau, xem Định nghĩa 9.1.6 . Như ví dụ 9.1.15 chỉ ra, thực sự không có một khái niệm hợp lý nào về "bộ xương" trong HoTT. Điều này là như vậy bởi vì sự bình đẳng quá yếu đến nỗi nó đã có nghĩa là "đẳng cấu".

Hơn nữa, Định lý 9.4.16 nói

Định lý 9.4.16: Nếu và là các loại thì hàm (được xác định bởi cảm ứng trên functor nhận dạng) là một loại tương đương.B ( A = B ) → ( A ≃ B $A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

Định lý cho chúng ta biết rằng Tiên đề Univalence cho chúng ta một loại giấc mơ của nhà lý thuyết cateory: các phạm trù tương đương là như nhau.

Bạn hỏi liệu bạn có thể giảm tiên đề Univalence thành một tuyên bố về các danh mục. Nỗ lực sử dụng bộ xương sẽ không hiệu quả vì không có cách nào tốt để nói "bộ xương". Chúng ta có thể hỏi liệu Định lý 9.4.16 có ngụ ý tiên đề Univalence không. Điều này sẽ không xảy ra, theo như tôi có thể thấy, bởi vì một thể loại có -type (groupoid) của các đối tượng và -type (tập hợp) các hình thái, vì vậy định lý 9,4.16 tương đương với Tiên đề univalence cho 1 loại, chỉ.$1$$0$