Quyền hạn một chiều hữu hạn với miền vô hạn

Hãy $\pi \colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ là một hoán vị. Lưu ý rằng trong khi $\pi$ hoạt động trên một miền vô hạn, mô tả của nó có thể là hữu hạn. Theo mô tả , tôi có nghĩa là một chương trình mô tả chức năng của $\pi$ . (Như độ phức tạp Kolmogorov.) Xem giải thích bên dưới.

Chẳng hạn, hàm NOT là một hoán vị như vậy:

hàm KHÔNG (x)
    Đặt y = x
    Cho i = 1 đến | x |
        Lật một chút thứ i của y
    trở lại y

, được định nghĩa dưới đây, là một trường hợp khác:$\pi_k(\cdot)$

hàm pi_k (x)
    trả về x + k (mod 2 ^ | x |)

Câu hỏi của tôi là về một lớp hoán vị đặc biệt, được gọi là hoán vị một chiều . Nói một cách không chính thức, đây là những hoán vị dễ tính toán, nhưng khó đảo ngược (đối với máy ). Sự tồn tại đơn thuần của hoán vị một chiều là một vấn đề mở từ lâu trong lý thuyết mật mã và phức tạp, nhưng trong phần còn lại, chúng ta sẽ cho rằng chúng tồn tại.$\rm{BPP}$

$n = pq$$e = 65537$$\pi_n(x) = x^e \bmod n$

Lưu ý rằng RSA được xác định trên miền hữu hạn . Trong thực tế, để có được hoán vị miền vô hạn, người ta phải xem xét một họ các hoán vị RSA , trong đó là một tập hợp số nguyên Blum vô hạn. Lưu ý rằng là mô tả về gia đình, và theo định nghĩa, nó là vô hạn. { π n } n ∈ D D$\mathbb{Z}_n$$\{\pi_n\}_{n\in D}$$D$$D$

Câu hỏi của tôi là (giả sử sự tồn tại của hoán vị một chiều):

Có tồn tại hoán vị một chiều mô tả hữu hạn trên một miền vô hạn ?

Câu trả lời có thể khác nhau: Nó có thể là tích cực, tiêu cực hoặc mở (có thể là tích cực , hoặc có khả năng là tiêu cực ).

Lý lịch

Câu hỏi đặt ra khi tôi đang đọc một bài báo ASIACRYPT 2009 . Ở đó, tác giả ngầm (và trong bối cảnh của một số bằng chứng) cho rằng tồn tại hoán vị một chiều như vậy.

Tôi sẽ rất vui nếu đây thực sự là trường hợp, mặc dù tôi không thể tìm thấy bằng chứng.

Bài viết về xây dựng các hàm 1-1 một chiều , của Goldreich, Levin và Nisan chỉ ra cách xây dựng các hàm 1-1 bảo tồn độ dài với các miền vô hạn và mô tả hữu hạn. Độ cứng của việc đảo ngược các chức năng dựa trên các giả định phổ biến, chẳng hạn như độ cứng của đảo ngược RSA hoặc tìm các logarit rời rạc.

$\{f_i\}_i$$f(r,s) = f_i(x)$$r$$i$$s$$x$$i$

$f(r,s)$$f(r,s)$$\{f_i\}_i$