Đánh giá đa biến hóa của một mạch số học?

Hãy $p(x_1,\ldots,x_n)$ là một đa thức đa variate với hệ số trên một lĩnh vực $F$ . Các multilinearization của $p$ , biểu hiện bằng p , là kết quả của nhiều lần thay thế mỗi x d i với d > 1 bởi x i . Kết quả rõ ràng là một đa thức đa tuyến.$\hat{p}$$x_i^d$$d > 1$$x_i$

Hãy xem xét vấn đề sau: đưa ra một mạch số học trên và các phần tử trường đã cho , tính toán .F a 1 , Mạnh , a $C(x_1,\ldots,x_n)$$F$$a_1,\ldots,a_n$$\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

Câu hỏi: Giả sử số học trường có thể được thực hiện trong đơn vị thời gian, có thuật toán thời gian đa thức cho việc này không? Đã thêm sau: Tôi cũng sẽ quan tâm đến trường hợp đặc biệt trong đó$C$ thực sự là một công thức (một mạch của fan-out $1$ ).

Trong trường hợp trường có kích thước tối thiểu 2 n , tôi nghĩ vấn đề này khó. Cụ thể hơn, tôi nghĩ rằng nếu những điều trên có thể được giải quyết một cách hiệu quả cho F lớn như vậy, thì CNF-SAT có các thuật toán ngẫu nhiên hiệu quả. Giả sử chúng ta đưa ra một công thức CNF φ . Người ta có thể dễ dàng đưa ra một mạch số học C mà tính ra một '' arithmetization '' p của φ , nơi mà các đa thức p đồng ý với công thức φ trên 0 - 1 đầu vào. Xét đa biến q của p . Lưu ý rằng $F$$2n$$F$$\varphi$$C$$p$$\varphi$$p$$\varphi$$0$$1$$q$$p$$q$đồng ý với và do đó φ trên { 0 , 1 } n .$p$$\varphi$$\{0,1\}^n$

Tôi khẳng định rằng là khác không iff φ là thỏa đáng. Rõ ràng, nếu q = 0 , sau đó φ có thể không được thỏa mãn. Đối với converse, người ta có thể chỉ ra rằng mọi đa thức đa tuyến khác không có thể biến mất trên tất cả { 0 , 1 } n . Điều này ngụ ý rằng một tổ chức phi zero q (và do đó tương ứng với φ ) không biến mất tại một số đầu vào trong { 0 , 1 } n .$q$$\varphi$$q=0$$\varphi$$\{0,1\}^n$$q$$\varphi$$\{0,1\}^n$

Do đó, kiểm tra mức độ thỏa mãn của tương đương với việc kiểm tra nếu q khác không. Này, bây giờ, chúng ta có thể đánh giá q trên một lĩnh vực lớn F . Sau đó, bằng cách sử dụng Bổ đề Schwartz-Zippel, chúng tôi có thể kiểm tra nhận dạng q bằng thuật toán ngẫu nhiên hiệu quả và kiểm tra xem đó có phải là đa thức không (kích thước của F được sử dụng để vượt quá lỗi trong Schwartz-Zippel Lemma).$\varphi$$q$$q$$F$$q$$F$

Giả sử rằng có thuật toán polytime rằng cho và → một tính kết quả của đa tuyến tính của C trên → một . (wlog tôi sẽ cho rằng sản lượng → b sẽ là một vector của p -bit số nhị phân b i là k iff b i , k là một.)$C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$$\vec{a}$$C$$\vec{a}$$\vec{b}$$p$$b_i$$k$$b_{i,k}$

Vì , có một mạch boolean polysize đưa ra mã hóa của mạch số học và các giá trị cho các biến tính toán đa tuyến tính của mạch số học trên các đầu vào. Hãy gọi cho mạch này M .$P \subseteq P/poly$$M$

Gọi là một mạch số học tùy ý. Khắc phục các biến của mạch boolean M mô tả mạch số học, do đó chúng ta có một mạch boolean tính toán đa tuyến tính của C trên các đầu vào đã cho.$C$$M$$C$

Chúng tôi có thể biến mạch này vào một mạch số học trên bằng cách ghi nhận rằng x p - 1 là 1 cho tất cả các giá trị nhưng 0 vì vậy đầu tiên huy động tất cả các nguyên liệu đầu vào với sức mạnh p - 1 . Thay thế mỗi cổng f ∧ g bằng cách nhân f . g , mỗi cổng f ∨ g bởi f + g - f . g và mỗi cổng ¬ f bằng 1 - f .$F_p$$x^{p-1}$$1$$0$$p-1$$f \land g$$f.g$$f \lor g$$f+g-f.g$$\lnot f$$1-f$

Theo giả định mà chúng tôi đã đưa ra ở trên về định dạng của đầu ra, chúng tôi có thể biến đầu ra từ nhị phân sang giá trị trên . Đi đầu ra cho b i và kết hợp chúng để có được Σ 0 ≤ k ≤ p - 1 k b i , k .$F_p$$b_i$$\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

Chúng ta cũng có thể chuyển đổi đầu vào được cung cấp dưới dạng giá trị trên sang dạng nhị phân vì có các đa thức đi qua bất kỳ số điểm hữu hạn nào. Ví dụ: nếu chúng ta đang làm việc trong mod 3 , hãy xem xét các đa thức 2 x ( x + 1 ) và 2 x ( x + 2 ) cung cấp các bit đầu tiên và thứ hai của đầu vào x ∈ F 3 .$F_p$$\bmod 3$$2x(x+1)$$2x(x+2)$$x \in F_3$

Kết hợp những chúng ta có một mạch số học trên tính toán đa tuyến tính của C với kích thước polynomail trong kích thước của C .$F_p$$C$$C$