Các ứng dụng phức tạp Kolmogorov trong độ phức tạp tính toán

Nói một cách không chính thức, độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi là độ dài của chương trình ngắn nhất tạo ra x . Chúng ta có thể định nghĩa một khái niệm 'chuỗi ngẫu nhiên' bằng cách sử dụng nó ( x là ngẫu nhiên nếu K ( x ) ≥ 0,99 | x | ) Dễ dàng thấy rằng hầu hết các chuỗi là ngẫu nhiên (không có quá nhiều chương trình ngắn).$x$$x$$x$$K(x) \geq 0.99 |x|$

Lý thuyết phức tạp Kolmogorov và lý thuyết thông tin thuật toán khá phát triển hiện nay. Và có một số ví dụ thú vị về việc sử dụng độ phức tạp Kolmogorov trong các bằng chứng về các định lý khác nhau không chứa bất cứ điều gì về độ phức tạp Kolmogorov trong các phát biểu của họ ( bất đẳng thức LLL , Loomis-Whitney , v.v.).

Có ứng dụng hay nào về độ phức tạp Kolmogorov và lý thuyết thông tin thuật toán trong độ phức tạp tính toán và các lĩnh vực liên quan không? Tôi cảm thấy rằng nên có kết quả sử dụng độ phức tạp Kolmogorov như một sự thay thế đơn giản cho các đối số đếm đơn giản. Điều này, tất nhiên, không thú vị.

Lance Fortnow đã viết một bài viết về chủ đề này: Độ phức tạp Kolmogorov và độ phức tạp tính toán

Bạn cũng nên xem phần Giới thiệu về Độ phức tạp Kolmogorov và các ứng dụng của Li và Vitanyi, cuốn sách dứt khoát về chủ đề này. Cụ thể, chương 6 "Phương pháp không thể nén" thảo luận về một số ứng dụng phức tạp như bằng chứng phức tạp Kolmogorov về bổ đề chuyển đổi của Hastad (từ Circuit Lower Bound à la Kolmogorov của Fortnow và Laplante).

Và có những ứng dụng về độ phức tạp trong giao tiếp (ví dụ: Độ phức tạp Kolmogorov và Phương thức kết hợp trong Độ phức tạp trong giao tiếp của Kaplan và Laplante).

Chỉ vài ngày trước Scott Aaronson đã sử dụng một đối số dựa trên độ phức tạp Kolmogorov để thể hiện sự tương đương của Lấy mẫu và Tìm kiếm . Hơn nữa, ông lập luận rằng trong lập luận của mình, độ phức tạp Kolmogorov được sử dụng theo một cách thiết yếu, đó không chỉ là một cách rút gọn cho một đối số đếm.

Kết quả này của Alon et al. có thể thu được bằng phương pháp phức tạp Kolmogorov.

$\mathrm{poly}(\log |E|)$

Một bài báo xuất sắc mà tôi biết (ngoài những bài báo xuất sắc khác được đề cập trong các câu trả lời khác):

Juris Hartmanis, Độ phức tạp Kolmogorov tổng quát và cấu trúc của các tính toán khả thi , FOCS 1983.

Điều chính tôi nhớ từ bài báo đó là một công trình dựa trên độ phức tạp Kolmogorov của một nhà tiên tri tách P khỏi NP.

Một bài báo khác xuất hiện trong tâm trí là

Allender và cộng sự, Sức mạnh từ Chuỗi ngẫu nhiên , FOCS 2002 ( phiên bản ECCC ) và SICOMP 2006 .

Nếu tôi nhớ lại, bài báo sau tách biệt tính hoàn chỉnh Turing thời gian đa thức với tính hoàn chỉnh nhiều không gian của một không gian trong PSPACE, sử dụng các đối số phức tạp Kolmogorov. Tất nhiên, nó còn làm nhiều thứ khác, nhưng tôi nhớ rằng tách biệt là một ứng dụng được quan tâm độc lập ngoài lý thuyết thông tin thuật toán.

Ngoài ra còn có một kỹ thuật ràng buộc thấp hơn lượng tử sử dụng độ phức tạp Kolmogorov:

"Giới hạn dưới cho độ phức tạp truy vấn ngẫu nhiên và lượng tử sử dụng đối số Kolmogorov " của Sophie Laplante và Frederic Magniez

$s$$K(s)$

(Bây giờ là một phần nghiêm trọng.) Tôi nghĩ rằng điều này có khả năng cung cấp các ứng dụng quan trọng trong tương lai về độ phức tạp Kolmogorov giới hạn tài nguyên cho độ phức tạp tính toán.

• Daniil Musatov, Cải thiện Phiên bản giới hạn không gian của Định lý phức tạp có điều kiện của Manynik thông qua Derandomization `` Naive '' , CSR 2011, LNCS 6651, 64. doi: 10.1007 / 978-3-642-20712-9_6 ( in sẵn )

Xem thêm giấy tờ trích dẫn này .

(Chỉnh sửa: liên kết đến phiên bản mới hơn, đã xuất bản.)

H. Buhrman, L. Fortnow và S. Laplante. Sự phức tạp Kolmogorov giới hạn tài nguyên được xem xét lại. Tạp chí SIAM về máy tính, 31 (3): 887-905, 2002. ( tạp chí , trang web của Lance ).

Bao gồm các ứng dụng về độ phức tạp Kolmogorov như:

• Một bằng chứng về Valiant-Vazirani
• Việc gán các công thức Boolean thỏa mãn có thể được liệt kê theo đa thức thời gian trong kích thước đầu ra nếu có thể tìm thấy một phép gán duy nhất
• Một bằng chứng mới cho thấy BPP có trong Sigma_2 P
• Một số công trình nhà tiên tri

Một số điều trên đã được chứng minh lần đầu tiên trong bài báo này, trong khi những điều khác chỉ đơn giản là bằng chứng mới về các định lý cũ, sử dụng độ phức tạp Kolmogorov.

Các ứng dụng của độ phức tạp Kolmogorov giới hạn thời gian trong lý thuyết phức tạp là một khảo sát hay của Eric Allender về các ứng dụng khác. Mặc dù nhiều kết quả ở đây là hàm ý, một số là các ứng dụng thực sự, chẳng hạn như sau:

• Cor 13: Liên quan đến một nhà tiên tri chung, không có trình tạo giả ngẫu nhiên nào an toàn trước các đối thủ P / poly.
• Thm 16 [Allender and Gore, 1991]: Có một lời tiên tri liên quan đến tất cả các vị từ NE có thể giải quyết được theo thời gian theo cấp số nhân và E = Union_k \ Sigma_k-TIME (n).

Cả hai bằng chứng đều sử dụng độ phức tạp Kolmogorov đáng kể.

$D$$D$

Chiều dài mô tả tối thiểu sử dụng độ phức tạp Kolmogorov (hoặc gần đúng và khái quát hóa của chúng, do tính không chắc chắn) trong học tập lý thuyết thông tin và lý thuyết suy luận. Cụ thể, MDL được sử dụng để tìm giải thích về dữ liệu tránh tự nhiên quá mức.

Jorma Rissanen cung cấp một giới thiệu tốt về khái niệm của mình: http://www.mdl-research.org/jorma.rissanen/pub/Intro.pdf

Bạn có ý gì đó như thế này, ilyaraz?

http://arxiv.org/abs/1004.3993