Bộ độ cho đồ thị mở rộng tuyến tính

Một phần mở rộng tuyến tính của một poset là một trật tự tuyến tính trên các yếu tố của , sao cho trong có nghĩa trong cho tất cả . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

Một đồ thị mở rộng tuyến tính là một đồ thị trên các thiết lập của phần mở rộng tuyến tính của một poset, nơi hai phần mở rộng tuyến tính là liền kề chính xác nếu họ di ff er trong một trao đổi liền kề của các yếu tố.

Trên hình sau đây có poset được gọi là -poseet và đồ thị mở rộng tuyến tính của nó, trong đó . $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

văn bản thay thế (Con số này được lấy từ công việc .)

Khi bạn nghiên cứu đồ thị mở rộng tuyến tính (LEG), bạn có thể đưa ra một ý tưởng (phỏng đoán) rằng nếu - độ tối đa của một LEG, - respecrively, mức độ tối thiểu, sau đó thiết lập mức độ của bất kỳ CHÂN gồm và mỗi số tự nhiên giữa chúng. Ví dụ, chúng ta hãy poset, được gọi là chữ V, sau đó trong LEG của với và , và cũng có thể, theo phỏng đoán của chúng tôi, đỉnh với độ 4 và 3 được chứa trong đồ thị. Vì vậy, câu hỏi là chúng ta có thể chứng minh hoặc bác bỏ phỏng đoán này? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

Về LEGs và làm thế nào để chúng trông giống như người ta có thể đọc trong luận văn của Mareike Massow ở đây . Có thể xem Chevron và LEG của nó trên trang 23 của luận án.

Trên các bộ mức độ có bài báo cổ điển " Bộ mức độ cho đồ thị " của Kapoor SF et al.

graph-theory co.combinatorics

— Oleksandr Bondarenko
nguồn

đồ thị mở rộng tuyến tính là gì? điều đó có nghĩa là, bạn có thể gấp định nghĩa vào câu hỏi để nó khép kín hơn một chút không?

— Suresh Venkat

Phỏng đoán này là dễ thương. Có bất kỳ động lực hoặc ứng dụng được biết đến cho phỏng đoán? (Nói giảm bớt cho những phỏng đoán khác.)

— Hsien-Chih Chang

@ Hsien-Chih Chang Động lực cho phỏng đoán này là khi chứng minh nó, chúng ta sẽ biết nội dung của mức độ chỉ bằng cách biết mức độ tối đa và tối thiểu của biểu đồ mở rộng tuyến tính nhất định.

— Oleksandr Bondarenko

Tôi nghĩ rằng tôi đã chứng minh điều đó ngày hôm qua. Do đó, đây là bản phác thảo của bằng chứng. Lúc đầu, bổ đề sau được chứng minh.

Bổ đề . Đặt - một thứ tự từng phần, - đồ thị mở rộng tuyến tính của nó và - hai đỉnh liền kề của . Sau đó . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

Bản phác thảo của bằng chứng.

Đồng thời, là các phần mở rộng tuyến tính của sao cho một trong số chúng, ví dụ , có thể được chuyển đổi thành bằng một chuyển vị của các phần tử liền kề (hoán vị liền kề). Nó rất dễ dàng để xem (xem xét, ví dụ, và từ hình trên) mà bất kỳ yếu tố của bất kỳ phần mở rộng tuyến tính có thể thay đổi số phần tử liền kề có một không hai trên nhiều nhất là hai: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

$x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
$G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

$x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$

$G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ $deg(v_3)=k+1$

Bản phác thảo của bằng chứng.

$v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

$L_1,L_2$

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

$deg(L_2)=deg(L_1)+2$

$x_{i+1}$ $x_1$

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$

j < i - 1

$j<i-1$

— Oleksandr Bondarenko
nguồn

x \sim y

$x \sim y$

x

$x$

y

$y$

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$

x ⊥ y

$x\perp y$