Thời gian bao trùm của đồ thị có hướng

Đưa ra một bước đi ngẫu nhiên trên biểu đồ, thời gian che phủ là lần đầu tiên (số bước dự kiến) mà mọi đỉnh đã bị chạm (bao phủ) bởi bước đi. Đối với các đồ thị vô hướng được kết nối, thời gian che phủ được biết là giới hạn trên của . Có các bản đồ được kết nối mạnh mẽ với thời gian theo cấp số mũ theo . Một ví dụ về điều này, là digraph bao gồm một chu kỳ đạo , và các cạnh , từ đỉnh $O(n^3)$ $n$ $(1, 2, ..., n, 1)$ $(j, 1)$ . Bắt đầu từ đỉnh , thời gian dự kiến cho một bước đi ngẫu nhiên để đạt được đỉnh là . Tôi có hai câu hỏi : $j = 2, ..., n − 1$ $1$ $n$ $\Omega(2^n)$

1) Các lớp đã biết của đồ thị có hướng với thời gian che đa thức là gì? Các lớp này có thể được đặc trưng bởi các thuộc tính lý thuyết đồ thị (hoặc) bởi các thuộc tính của ma trận kề tương ứng (giả sử ). Ví dụ: nếu đối xứng thì thời gian che của đồ thị là đa thức. $A$ $A$

2) Có ví dụ đơn giản hơn (như ví dụ về chu trình được đề cập ở trên) trong đó thời gian che phủ là theo cấp số nhân?

3) Có ví dụ với thời gian bao phủ đa thức không?

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ con trỏ đến khảo sát / sách tốt về chủ đề này.

— Shiva Kintali
nguồn

Ví dụ chu kỳ của bạn có thể có thể được khái quát hóa một chút để đồ thị với đạo chu vi

với một thời gian vỏ mũ

g

$g$

2^{Ω (n / g)}

$2^{\Omega(n/g)}$

— Derrick Stolee

Ngoài ra, đồ thị giãn nở rất có thể có thời gian che nhanh.

— Derrick Stolee

Bài viết của Mihail đã mô tả làm thế nào để ràng buộc tốc độ hội tụ của các máy in thông thường và thậm chí cả chuỗi Markov nói chung về độ dẫn. Nó cũng có thể được sử dụng để ràng buộc thời gian (tôi đoán). Xem: ieeexplore.ieee.org/iel2/260/2317/00063529.pdf

— Zeyu

@Zeyu, nên là một câu trả lời!

— Suresh Venkat

Một bài viết của Fan Chung về "Laplacians và sự bất bình đẳng Cheeger cho đồ thị có hướng" có lẽ có liên quan. Nó cũng có một số gợi ý cho công việc trước đây của Fill. springerlink.com/content/pn149711511373w9

— Chandra Chekuri

Câu trả lời:

~~Rõ ràng thời gian trộn đa thức ngụ ý thời gian che phủ đa thức.~~ (Vâng, không nói chung. Chúng ta cần xác suất cố định ít nhất tại mỗi đỉnh.) Vì vậy, kiểm tra giấy Mihail của Độ dẫn điện và tụ của Markov chuỗi-một điều trị tổ hợp của expanders đó chứng tỏ trộn nhanh thường xuyên đồ thị có hướng và chuỗi Markov chung dựa trên độ dẫn. $1/poly(n)$

Ngoài ra, hãy xem Pseudorandom trên giấy viết về các bản vẽ thông thường và bài toán RL so với L của Reingold, Trevisan và Vadhan. Theo dõi công việc của Mihail. Họ đã định nghĩa tham số tương đương với , giá trị riêng lớn thứ hai trong giá trị tuyệt đối, khi đồ thị có thể đảo ngược thời gian và vẫn được xác định rõ cho các chuỗi Markov chung. Sau đó tham số này được sử dụng để ràng buộc thời gian trộn của . $\lambda_\pi(G)$ $\lambda_2(G)$ $G$ $G$

— Zeyu
nguồn

Đối với thời gian trộn, cũng có công việc khung liên quan bằng cách sử dụng hằng số Poinare (là tổng quát của khoảng cách quang phổ đến cài đặt không thể đảo ngược). Laurent Saloff Coste có một số lưu ý ( springerlink.com/content/27114435w5149665 ) xử lý Chuỗi Markov trong khung này. Ngoài ra còn có một chuyên khảo ( faculty.uml.edu/rmontenegro/research/TCS008-journal.pdf ) bởi Tetali và Montenegro. Tất nhiên, đây là về thời gian trộn, nhưng có thể hữu ích cho giới hạn thời gian che phủ như được chỉ ra bởi Zeyu.

— Piyush

$D_{n,p}$ $np=d \log n, d>1$

$d > 1$ $D_{n,p}$ $d \log (d/(d-1)) n \log n$ $d=d(n) \rightarrow \infty$ $n$ $n \log n$
$p = d \log n/n$ $d>1$ $C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$
$d>1$ $x$ $(0,1)$ $x = 1-e^{-dx}$ $X_g$ $G_{n,p},p=d/n$ $C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$
$r \geq 3$ $G_{n,r}$ $r$ $[n]$ $r \geq 3$ $C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$
$m \geq 2$ $G_m$ $2m$ $C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$
$k \geq 3$ $G_{r,k}$ $\mathcal{R}^k$ $r$ $d \log n$ $C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

Xem Cooper, C., & Frieze, A. Phân phối văn phòng phẩm và thời gian đi bộ ngẫu nhiên trên các bản vẽ ngẫu nhiên. Tạp chí lý thuyết kết hợp, sê-ri B. (2011).

— Juho
nguồn