Những trò chơi tô màu này đã được giải quyết chưa?

Trong bài báo "Về sự phức tạp của một số trò chơi tô màu", Bodlaender đưa ra một số câu hỏi mở về sự phức tạp của việc quyết định xem người chơi 1 hoặc 2 có chiến lược chiến thắng trong một số trò chơi tô màu đồ thị hay không. Có ai biết nếu họ đã được giải quyết?

1) Trong một trò chơi, hai người chơi lần lượt chọn một đỉnh trong biểu đồ và tô màu đúng với màu từ một tập hữu hạn cố định. Người thua cuộc là người chơi đầu tiên không thể tô màu một đỉnh. Trong bài viết của Schaefer, nó được hiển thị là hoàn thành không gian với 1 màu và Bodlaender cho thấy nó hoàn thành không gian với 2 màu nhưng không có câu trả lời nào có nhiều màu hơn. Nó vẫn mở chứ?

2) Trong một biến thể khác, các đỉnh có số 1..n. Đến lượt người chơi, anh ta phải tô màu chính xác đỉnh với số thấp nhất chưa được tô màu. Một lần nữa, họ đang sử dụng màu sắc từ một bộ cố định và người thua cuộc là người chơi đầu tiên không thể tô màu đỉnh của mình. Bodlaender cho thấy nó hoàn chỉnh trong không gian cho các biểu đồ chung. Anh ta hỏi ai thắng trên cây, được biết không?

Cảm ơn

Có vẻ như bài báo này có một số thứ bạn đang tìm kiếm: http://arxiv.org/abs/1202.5762

Dạng chung của câu hỏi đầu tiên là cách giảm thực sự đơn giản: sử dụng màu sắc {0, ..., n-1}, bắt đầu với một phiên bản Node Kayles và tạo một đỉnh cho mỗi màu từ 1 đến n-1 và kết nối chúng đến từng đỉnh không màu. Bây giờ những màu đó không thể chơi được và bạn vẫn đang chơi trò chơi Node Kayles.