Số chính xác trong phương pháp tổng bình phương?

Tôi đã đọc một chút về phương pháp tổng bình phương (SOS) từ khảo sát của Barak & Steurer và các bài giảng của Barak . Trong cả hai trường hợp, họ quét các vấn đề về độ chính xác số dưới tấm thảm.

Theo hiểu biết của tôi về phương pháp (hạn chế), điều sau đây phải đúng:

Cho bất kỳ hệ phương trình đa thức trên các biến có giá trị thực , trong đó tất cả các tham số là ( , và mức độ của mỗi ràng buộc), mức độ - " "( ) Phương thức SOS tìm thấy sự gán thỏa mãn các biến hoặc chứng minh không tồn tại trong thời gian . x ∈ R n O ( 1 ) n | E | 2 n = O ( 1 ) O ( 1 $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

Câu hỏi đầu tiên của tôi là liệu tuyên bố trên có đúng không (có một lập luận ngây thơ không sử dụng SOS để giải quyết vấn đề này không?). Câu hỏi thứ hai là độ chính xác của số phù hợp ở đâu. Nếu tôi muốn nhận một bài tập thỏa mãn tất cả các ràng buộc về độ chính xác của phụ gia , thì thời gian chạy phụ thuộc vào như thế nào? Đặc biệt, nó có phải là đa thức không?1 /$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Động lực cho việc này là, áp dụng cách tiếp cận phân chia và chinh phục trên một hệ thống lớn cho đến khi trường hợp cơ sở là một hệ thống cỡ .$O(1)$

EDIT: Từ Barak-STEURER, nó xuất hiện rằng "mức độ sum-of-squares thuật toán" trên P.9 (và các đoạn dẫn đến nó) tất cả các định nghĩa vấn đề cho các giải pháp trên , và trong thực tế, định nghĩa phân phối giả trong phần 2.2 là hơn . Bây giờ tôi đang thấy từ Bổ đề 2.2, tuy nhiên, người ta không đảm bảo một giải pháp / bác bỏ ở mức mà không có biến nhị phân.R R 2 $l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

Vì vậy, tôi có thể tinh chỉnh câu hỏi của tôi một chút. Nếu các biến của bạn không phải là nhị phân, điều đáng lo ngại là chuỗi đầu ra không hữu hạn (thậm chí có thể không tăng đơn điệu?). Vì vậy, câu hỏi là: vẫn tăng? Và nếu vậy, bạn phải đi bao xa để có được độ chính xác phụ gia ? φ ( l )$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

Mặc dù điều này có thể không thay đổi bất cứ điều gì, nhưng tôi tình cờ biết hệ thống của mình là thỏa đáng (không có sự bác bỏ ở bất kỳ mức độ nào), vì vậy tôi thực sự chỉ quan tâm đến việc cần phải lớn đến mức nào. Cuối cùng, tôi quan tâm đến một giải pháp lý thuyết, không phải là một bộ giải số.$l$

Dưới đây là nhận xét của Boaz Barak về vấn đề này:

Chúng tôi quét độ chính xác bằng số dưới tấm thảm - tài liệu về SOS "truyền thống" hơn của Parrilo, Lasserre, v.v. liên quan đến các vấn đề này (ví dụ, xem khảo sát của Monique Laurent và các tài liệu tham khảo trong đó). Được biết rằng hệ thống phân cấp là đơn điệu (nó không khó để thấy rằng một mức độ psuedo-phân phối là ở mức độ một đặc biệt một), và rằng nó sẽ hội tụ ở mức độ hữu hạn đối với bất kỳ thiết lập cố định của phương trình (đây là Positivstellensatz). Mức độ chính xác có thể khác nhau. Nói chung, nếu tất cả các hệ số của đa thức đều bị giới hạn và bạn đang cố phân biệt giữa trường hợp có một giải pháp và trường hợp trong bất kỳ phép gán nào, một trong các phương trình đều bị tắt bởi , thì người ta có thể phân biệt điều này vớil - 1 ε delta delta $l$$l-1$$\epsilon$$\delta$-net cho liên quan đến số lượng biến, mức độ phương trình và , và sau đó (giả sử mạng đủ "đẹp" và "khối như"), mức độ cần thiết phải ghi gần đúng kích thước của mạng.$\delta$$\epsilon$

Tôi nghĩ rằng câu trả lời của tôi có lẽ là không đủ, nhưng nó vẫn còn cho sự hoàn chỉnh (mặc dù hãy xem ý kiến ​​của Boaz bên dưới để biết câu trả lời tốt hơn)

Khi chúng tôi giới hạn chính mình để biến boolean, yêu cầu bồi thường có thể được nhìn thấy khi cho tất cả i ∈ [ n ] với nhận xét rằng mức độ 2 n giả phân phối là phân phối thực tế, có nghĩa là, giả sử bạn có một pseudo-phân phối μ ( x ) trên các giải pháp x các bất đẳng đa thức của bạn E thỏa mãn:$(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

và Σ x ∈ { - 1 , 1 } n μ ( x ) p 2 ( x ) ≥ 0 cho tất cả các đa thức p với mức độ tối đa là$\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

Nhưng mức độ đa thức bao gồm các đa thức chỉ số (ví dụ, x 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 1 có 2 - 3 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 3 ) mà là tất cả số 0 ở nơi khác và 1 trên bài tập đó). Vì vậy, μ ( x ) ≥ 0 cho tất cả x ∈ $n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$ , vì vậy chúng tôi kết luận μ là một phân phối thực tế so với các giải pháp của E . Bằng ℓ pseudo-phân phối có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng chương trình semidefinite để tìm một mức độ liên quan ℓ hành giả mong đợi trong n O ( ℓ ) thời gian, vì vậy chúng tôi có thể tìm thấy sự phân bố thực tế μ trong thời gian n O ( n ) bằng cách sử dụng pseudo- rằng kỳ vọng (nay là một kỳ vọng thực tế) để tìm tất cả những khoảnh khắc của μ .$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$$\mu$

Vì vậy, nếu , sau đó bạn có thể tìm thấy phân phối các giải pháp cho E trong thời gian O ( 1 ) . Tất nhiên, tìm kiếm vũ phu đảm bảo như nhau.$|E| = O(1)$$E$$O(1)$

Tuy nhiên, nếu các giải pháp không nhất thiết phải boolean, sau đó degree- giả mong đợi là không đủ để tìm một bản phân phối qua các giải pháp. Như có thể thấy ở trên, bằng chứng cho thấy phân phối giả cấp 2 n là phân phối thực tế phụ thuộc vào thực tế là đa thức bậc n là đủ để 'chọn ra' các bài tập riêng lẻ, nói chung không đúng. Một cách khác để xem nó là các đa thức biến boolean được xem xét$2n$$2n$$n$ , vì vậy mức độ của mọi đơn thức nhiều nhất là n .$\mod(x_i^2)$$n$

Ví dụ, người ta có thể xem xét thay thế tất cả các biến nhị phân với một biến 4-ary, nói bằng cách bao gồm . Sau đó, bạn sẽ phải có một kỳ vọng giả cấp 4 n để đảm bảo phục hồi phân phối trên các giải pháp.$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

Bây giờ, để đảm bảo về mặt lý thuyết, có vẻ như xấp xỉ gốc của một hệ đa thức còn được gọi là bài toán thứ 17 của Smale, và rõ ràng có một thuật toán thời gian đa thức ngẫu nhiên (Las Vegas) giải quyết điều này - xem http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf . Lưu ý rằng điều này dường như nằm trong mô hình Blum-Shub-Smale, vì vậy các hoạt động thực sự là nguyên thủy. Tôi không chắc chắn nếu điều này mang lại sự đảm bảo mà bạn cần.