Kỹ thuật quang phổ cho chi của đồ thị

Một câu hỏi chung chung: có bất kỳ kỹ thuật quang phổ nào để ước tính chi của đồ thị không? Tôi quan tâm đến đồ thị lưỡng cực.

Quyết định giới hạn chính xác cho chi của đồ thị thông qua các kỹ thuật quang phổ có thể khó, nhưng đưa ra giới hạn trên hoặc dưới dường như có thể. Bài viết sau đây đưa ra cách ước tính chi theo giá trị riêng lớn nhất của ma trận kề, tức là bán kính quang phổ .$\rho(G)$

Bán kính phổ của đồ thị phẳng hữu hạn và vô hạn và đồ thị của chi giới hạn , Zdenek Dvorak và Bojan Mohar, JCTB 2010.

Chúng cung cấp một giới hạn trên của bán kính quang phổ cho đồ thị chi , như đã nêu trong định lý sau.$g$

Định lý. Đối với một chi đồ thị, , nơi biểu thị mức độ tối đa của đồ thị .ρ ( G ) = $g$Δ(G)$\rho(G) = \sqrt{8\Delta(G)} + O(\sqrt{g} \log g)$$\Delta(G)$$G$

Chúng ta có thể sử dụng điều này để ước tính giới hạn dưới cho chi của đồ thị, nếu bán kính phổ của đồ thị đủ lớn. Để biết ràng buộc chính xác hơn cho hằng số big-O, vui lòng xem bài viết.

Các tài sản như là một biểu đồ lưỡng cực dường như giúp đỡ rất ít ở đây. Họ có thể cung cấp một ví dụ lưỡng cực trong đó bất đẳng thức trên đồ thị phẳng là tốt nhất có thể.

NP-khó có thể tính gần đúng chi của đồ thị trong lỗi cộng gộp của . Có các thuật toán thời gian đa thức tính toán các phần nhúng của chi hoặc , trong đó là chi thực sự và là số đỉnh. Một thuật toán xấp xỉ tốt hơn đáng kể, quang phổ hay nói cách khác, sẽ là một bước đột phá đáng kể!O ( g $O(n^\epsilon)$tối đa{4g,g+4n}g$O(g\sqrt{n})$$\max\{4g, g+4n\}$$g$$n$

Xem: Jianer Chen, Saroja P. Kanchi và Arkady Kanevsky. Một lưu ý về chi đồ thị gần đúng . Thư xử lý thông tin 61 (6): 317 Công ty 322, 1997.