Về kiểm tra danh tính đa thức

Trong kiểm tra nhận dạng đa thức, chúng tôi tìm kiếm một thuật toán xác định để suy ra đẳng thức của hai đa thức . Derandomizing đã biết các thuật toán ngẫu nhiên hiệu quả và tạo ra một thuật toán xác định hiệu quả là một vấn đề mở quan trọng. Có một vấn đề hoàn chỉnh đối với thuế TNCN để việc kiểm tra danh tính của một nhóm đa thức giải quyết vấn đề mở này không? Nếu không, có các lớp đa thức trong đó vấn đề này được giải quyết và các lớp nơi chúng được mở?$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] Rất nhiều điều được biết đến, và đó là một khu vực rất năng động! [/tl;dr]

Điều quan trọng là chỉ định biểu diễn của đa thức đầu vào, vì chúng được đưa ra dưới dạng danh sách các hệ số hoặc đơn thức không khác nhau, vấn đề là không đáng kể. Do đó, người ta thường giả sử các đa thức được đưa ra dưới dạng các mạch số học (còn gọi là các chương trình đường thẳng). Và trường hợp chung thực sự sôi sục để kiểm tra xem một đa thức đã cho có phải là đa thức không.

Có hai cài đặt chính đã được nghiên cứu: trường hợp whitebox trong đó một trường hợp có mạch số học và có thể kiểm tra nó, và trường hợp hộp đen trong đó người ta biết một số điều về mạch (kích thước, mức độ chính thức, ...) nhưng không thể kiểm tra nó, chỉ đánh giá nó trên một số giá trị.

Dưới đây là một số hạn chế đối với các mạch đã được nghiên cứu:

• $2$$3$$4$$3$$4$
• Quạt trên / dưới: Đối với các mạch có độ sâu giới hạn, nhiều kết quả đã được chứng minh khi quạt vào (hoặc arity, đó là số lượng đầu vào của một cổng nhất định) của cổng trên hoặc cổng dưới bị chặn.
• Các hạn chế khác như ràng buộc về số lần một biến được sử dụng cũng đã được nghiên cứu.

Khảo sát này của Nitin Saxena là một nguồn tốt cho những kết quả này. Lưu ý rằng mặc dù nó đã hơn một năm tuổi (!) Và đây là một khu vực rất năng động. Vì vậy, kết quả gần đây nhất không được bảo hiểm.

Cuối cùng, có mối liên hệ giữa quá trình khử thuế của PIT và sự tách rời các vấn đề khác:

• Bổ đề bình thường hóa của Noether , bởi Ketan D. Mulmuley;
• Hệ số đa thức đa biến , bởi Swastik Kopparty, Shubhangi Saraf và Amir Shpilka.