Danh sách các vấn đề lý thuyết hoặc đại số trong các lớp phức tạp khác nhau

Tôi đang tìm kiếm một danh sách về sự phức tạp đã biết hoặc chưa biết của các vấn đề lý thuyết / đại số số khác nhau. Ví dụ,

• GCD trong đang mở,$NC^1$
• bao thanh toán trong là mở,$P$
• cohomology điện toán sheaf là -hard$\#P$ ,
• Arora và Barak tuyên bố rằng một biến thể của bao thanh toán là -complete (mặc dù điều này không rõ ràng dựa trên cuộc thảo luận tại một biến thể bao thanh toán NP hoàn chỉnh. ),$NP$
• Công trình đột phá của Barbulescu et al trên các logarit rời rạc .

Adman từng công bố một danh sách tập trung vào và nhưng có vẻ như đã lỗi thời. Mumford có một bài viết về những gì có thể tính toán được trong hình học đại số mà không liên quan đến sự phức tạp.$P$$NP$

Có ai biết một danh sách những khám phá (chính) kể từ khi những danh sách này được công bố không?

Một số vấn đề của một số lý thuyết / hương vị đại số mà các lớp phức tạp có thể đã được biết (vì các danh sách trên đã được công bố), chưa biết nhưng được phỏng đoán, hoặc chưa biết và không được phỏng đoán?

Một số cách giải quyết vấn đề có thể là các vấn đề nội suy (đơn biến hoặc đa biến, trên các lĩnh vực khác nhau), định lý còn lại của Trung Quốc, độ phức tạp của việc đếm điểm trên các đường cong, v.v.

Hình học đại số

• Bổ đề chuẩn hóa của Noether (NNL) cho các giống rõ ràng hiện chỉ được biết là trong (như NNL chung), nhưng được phỏng đoán là trong P (và trong P giả sử rằng PIT có thể là hộp đen vô chủ hóa). Cập nhật 4/18/18: Gần đây đã chỉ ra rằng đối với sự đa dạng ¯ V P nó là trong P S P Một C E qua rationals ( Forbes & Shpilka) và các lĩnh vực sau đó qua tùy ý ( Guo, Saxena, & Sinhababu ).$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\overline{\mathsf{VP}}$$\mathsf{PSPACE}$

• Kiểm tra xem một tập hợp đa thức đã cho có phụ thuộc đại số hay không. Vấn đề này gần đây đã được thể hiện ở bởi Guo, Saxena, & Sinhababu (cải thiện giới hạn trên trước của N P # P do Mittmann, Saxena, & Scheblechner , cũng trên arXiv ).$\mathsf{AM} \cap \mathsf{coAM}$$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

• Có một số thuật toán mới ( arXiv ) để tính toán các bất biến tôpô của các giống phức tạp (với các hạn chế khác nhau như độ mịn, v.v.). Tôi tin rằng đối với hầu hết các giới hạn trên tối ưu vẫn còn mở.

• Hilbert's Nullstellensatz (HN): đã cho đa thức số nguyên, quyết định xem chúng có giải pháp phức tạp chung hay không, nằm trong giả sử GRH ( Koiran ). Đó là chưa biết nếu nó là trong N P .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}$

• Các thuật toán để giải quyết các điểm kỳ dị của các giống đại số trong số không đặc trưng. Các Thời gian tốt nhất hiện nay trên ràng buộc , do Bierstone, Grigoriev, Milman, và Włodarczyk là nơi d là kích thước của sự đa dạng và E ∙ là hệ thống phân cấp Grzegorczyk chức năng đệ quy nguyên thủy . Không có giới hạn nào đặc biệt tốt (bất kỳ?) Về vấn đề này, nhưng đối với một vấn đề có vẻ đơn giản hơn nhiều liên quan đến giới hạn dưới được biết đến, cụ thể là: Có những lý tưởng trong n biến được tạo ra ở mức độ tối đa n yêu cầu E n + $\mathcal{E}^{d+3}$$d$$\mathcal{E}^{\bullet}$$n$$n$$\mathcal{E}^{n+1}$máy phát điện như vậy. Vì vậy, giới hạn trên hiện tại để giải quyết các điểm kỳ dị có thể không xa sự thật, nhưng thực sự ít được biết đến.

Vấn đề đẳng cấu

• Nhiều vấn đề về các nhóm hoán vị - chẳng hạn như giao điểm coset, đẳng cấu nhóm hoán vị, v.v. - nằm trong , nhưng không biết liệu chúng có ở N P ∩ c o N P hay không , và nghi ngờ rằng chúng đang không ở trong P . Biểu đồ đẳng cấu giảm bớt hầu hết các vấn đề đó, do đó, giới hạn trên tốt hơn đối với chúng ngụ ý giới hạn trên tốt hơn trên GI.$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{P}$

• Cụ thể, đối với đẳng cấu nhóm hoán vị, giới hạn trên tốt nhất hiện tại là và nó được mở nếu có thể được thực hiện trong thời gian 2 O ( n ) (chỉ phụ thuộc vào mức độ của nhóm hoán vị và không theo thứ tự của nó), chứ đừng nói đến thời gian gần như đa giao thức GI và giao điểm .$2^{O(n)}|G|$$2^{O(n)}$

• Nhóm đẳng cấu nơi mà các nhóm được đưa ra bởi nhân bảng được biết đến là trong , nhưng bị nghi ngờ là trong P . Được biết đến là trong P cho một vài lớp học của nhóm (Cập nhật 4/18/18: và một vài ( arXiv ) hơn ( arXiv )), nhưng không nói chung.$\mathsf{TIME}(n^{O(\log n)})$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Khác

• Cập nhật 18/8/18: Xếp hạng tenor trên bất kỳ trường là ∃ F -complete ( Schaefer & Stefankovic ). Là hạng tenor trên Q trong N P ? Nó được biết đến là N P -Hard ( Håstad ), và hơn trường vô hạn, nó là N P .$\mathbb{F}$$\exists \mathbb{F}$$\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

• Tổng quát hơn, nhiều vấn đề trên tenor trên là N P -hard nhưng không được biết là ở N P ( Hillar và Lim , cũng trên arXiv ).$\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Có vẻ như (hơi đáng buồn) là cuộc khảo sát của Adman-McCurley, mặc dù đã 21 tuổi, nhưng vẫn khá cập nhật về các vấn đề lý thuyết số, ngoại trừ thực tế là bây giờ chúng ta biết rằng là trong $\mathsf{PRIMES}$$\mathsf{P}$ ...

Thêm một vài điểm nhấn mạnh vào lý thuyết Galois và lý thuyết Galois tính toán (xem câu hỏi liên quan trên cs.SE ):

Độ phức tạp tính toán của việc xác định xem một đa thức monic không thể phân biệt được trên các số nguyên , có thể hòa tan bởi các gốc nằm trong P Ref "Khả năng hòa tan của Radicals là trong thời gian đa thức", S. Landau GL Miller 1984$\mathbb{Z}$$\mathbb{P}$

$NP$

sao chép từ câu hỏi liên kết trên MO