Khi nào một biểu đồ thừa nhận một định hướng trong đó có nhiều nhất một bước đi?

Hãy xem xét vấn đề sau:

Đầu vào: một đồ thị đơn giản (không bị chặn) .$G=(V,E)$

Câu hỏi: Có định hướng thỏa mãn tính chất mà với mọi có nhiều nhất một (hướng) - đi bộ không?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Điều này có thể được phrased tương đương như:

Đầu vào: một đồ thị đơn giản (không bị chặn) .$G=(V,E)$

Câu hỏi: Có một định hướng mạch hở của thỏa mãn tài sản đó cho mỗi có ít nhất một (đạo diễn) - đường dẫn?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Lớp đồ thị mà câu trả lời là "có" là gì? Vấn đề này có thể được giải quyết trong thời gian đa thức?

Một số quan sát:

1. Nếu đồ thị là lưỡng cực, thì câu trả lời là "có".
2. Nếu đồ thị có hình tam giác, thì câu trả lời là "không."

Quan sát đầu tiên theo sau bằng cách định hướng các cạnh từ phân vùng này sang phân vùng khác. Quan sát thứ hai là dễ dàng để kiểm tra. Điều này dẫn tôi đến hai dự đoán không chính xác:

1. Câu trả lời là "có" nếu và chỉ khi đồ thị là lưỡng cực. (ví dụ: 5 chu kỳ)
2. Câu trả lời là "có" nếu và chỉ khi đồ thị không có hình tam giác (ví dụ: sản phẩm cartesian của một cạnh với chu kỳ 5)

Nó hoàn thành NP bằng cách giảm từ 3SAT không bằng tất cả. Để thấy điều này, hãy quan sát rằng

• Định hướng hợp lệ duy nhất của là một trong đó các cạnh thay thế các hướng.$4$
• Đặt là một đường dẫn không có ba cạnh và thêm một đỉnh hai độ liền kề với các điểm cuối của để tạo thành một mô-tơ . Sau đó, các định hướng duy nhất của có thể được mở rộng thành các định hướng hợp lệ của toàn bộ mô-tơ là các định hướng trong đó không được định hướng nhất quán như một đường dẫn.$P$$P$$5$$P$$5$$P$

Chúng tạo thành một tiện ích biến cho một biến thuộc về khoản khác nhau của instance NAE-3SAT, bằng cách dán lại với nhau chia sẻ -cycles trên một cạnh chia sẻ. Sau đó, trong mỗi xe máy, cạnh đối diện với cạnh chung phải được định hướng nhất quán với tất cả xe máy khác. Chúng ta sẽ liên kết giá trị thật của biến với định hướng nhất quán của các cạnh này. Ngoài ra, trong bất kỳ định hướng hợp lệ nào của mỗi trong số xe máy này, không có đường đi từ sang khác$v$$k$$k$$4$$4$$4$$4$$4$$4$-Máy, vì vậy các tiện ích này chỉ có thể tương tác với nhau theo hướng của các cạnh và không thông qua sự tồn tại của các đường dẫn dài hơn.

Chúng tôi tạo một tiện ích mệnh đề cho mệnh đề 3 biến của thể hiện NAE-3SAT bằng cách dán ba cạnh mô -đun , đối diện với các cạnh được chia sẻ của ba tiện ích biến đổi thích hợp, vào đường dẫn 3 cạnh và sau đó thêm một mức độ -two đỉnh để hoàn thành thành mô-tơ. Như đã thảo luận ở trên, mô-tơ này có thể được định hướng một cách nhất quán khi và chỉ khi ba cạnh của nó không được định hướng là một đường dẫn, điều này (khi được dán chính xác) là đúng nếu và chỉ khi các giá trị thật liên quan đến các hướng này không phải là tất cả công bằng.$4$$P$$P$$5$$5$

Bằng cách này, DAG với ít nhất một trong - đi bộ cho mỗi - cặp đã được nghiên cứu trước đây, như "multitrees", "đồ thị mạnh mẽ rõ ràng", hay "rừng ngập mặn"; xem https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree$s$$t$$s$$t$