Số lượng khác biệt khác nhau của số nguyên được chọn từ

Tôi đã gặp kết quả sau đây trong quá trình nghiên cứu của tôi.

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ trong đó $m=\omega(\sqrt n)$ và $a_1,\cdots,a_m$ được chọn ngẫu nhiên từ $[n]$ .

Tôi đang tìm kiếm một tài liệu tham khảo / một bằng chứng trực tiếp.

Crossposted trên MO

reference-request co.combinatorics pr.probability

— Chu Cao
nguồn

Nếu

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$ , số lượng khác biệt tối đa khác nhau bạn có thể nhận được là

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$ . Vì vậy, bạn thực sự cần

m

$m$ để phát triển nhanh hơn

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ để điều này trở thành sự thật. Những gì tôi sẽ làm là cố gắng để tính toán xác suất mà một số

d

$d$ là không một sự khác biệt

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$ .

— Peter Shor

@Shor: cảm ơn, tôi đã cập nhật câu hỏi. Và thực sự kể từ khi

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$ , nó dễ dàng hơn để tính toán cho một cụ thể khác biệt

d

$d$ .

— Chu Cao

@ZhuCao, khi bạn nói "chọn

m

$m$ số nguyên

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$ ngẫu nhiên từ

[1, n]

$[1,n]$ ", ý nghĩa của phân phối chính xác là gì? Tôi đã giả sử iid đồng phục

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$ .

— usul

@Andras không, nó không phải là trường hợp. Ví dụ: nếu số

1

$1$ không được chọn (xảy ra với xác suất giới hạn từ 0) thì chênh lệch

n - 1

$n-1$ không thể xuất hiện và

D_{n} < n

$D_n<n$ . Nhưng tại sao nó cần phải là trường hợp? Câu hỏi chỉ hỏi rằng kỳ vọng của

D_{n} / n

$D_n/n$ gần bằng 1, không phải là

D_{n}

$D_n$ bằng 1 với xác suất cao.

— James Martin

Vui lòng không đăng chéo trên nhiều trang web Stack Exchange. Chính sách trang web của chúng tôi cấm đăng bài đồng thời: tối thiểu, chờ một tuần. Và nếu bạn không nhận được câu trả lời hay, bạn luôn có thể gắn cờ cho sự chú ý của người điều hành để yêu cầu nó được di chuyển.

— DW

Giả sử như đã cho rằng $m=\omega(\sqrt{n})$ .

Khắc phục mọi . Chúng tôi sẽ xem xét với . Mục đích là để chỉ ra rằng với xác suất cao là , được bao gồm trong tập hợp các khác biệt. $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

Trước tiên hãy xem xét tập . Số với sao cho là nhị thức với kỳ vọng xung quanh . Vì vậy, với xác suất cao là , số lượng như vậy sẽ ít nhất là , đó là . Sau đó (yêu cầu, "còn lại là bài tập", không khó để hiển thị) với xác suất cao là , tập có kích thước ít nhất là . Hãy để chúng tôi viết cho "sự kiện tốt" này, đó là . $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

Giả sử rằng thực sự giữ, tức là có ít nhất các giá trị riêng biệt của nhỏ hơn , đối với . Lưu ý rằng với mỗi giá trị như vậy, có một giá trị chính xác là lớn hơn. Bây giờ hãy xem xét các giá trị của cho . Đây là độc lập và mỗi người có khả năng ít nhất trở ở khoảng cách từ một phần tử của tập . Xác suất không có sự khác biệt được tạo ra sau đó nhiều nhất là $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ đi đến 0 là kể từ . Vì vậy, thực tế, xác suất mà giữ nhưng không có sự khác biệt về kích thước tồn tại có xu hướng 0 là . $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

Vì vậy (thống nhất trong ) xác suất được bao gồm trong tập hợp các khác biệt có xu hướng 1 là . Do đó, sử dụng tuyến tính của kỳ vọng, Vì là tùy ý, giới hạn là 1 như mong muốn. $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— James Martin
nguồn

Bạn có đang coi mỗi sự khác biệt là độc lập trong biểu thức , và nếu vậy, điều đó có hợp lý không?

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul

@James Oh, bây giờ tôi thấy nơi tôi đã bỏ lỡ . Cảm ơn bạn.

n

$n$

— Daniel Soltész

@usul: thực sự, lời xin lỗi, lập luận của tôi rất cẩu thả và không đầy đủ. Tôi đã mở rộng nó - Tôi nghĩ rằng nó giữ nước bây giờ.

— James Martin