Sự phức tạp của việc quyết định xem một gia đình có phải là gia đình Sperner không

Chúng tôi được cấp một họ gồm m tập con của {1, ..., n}. Có thể tìm thấy một mức thấp không tầm thường ràng buộc vào sự phức tạp của việc quyết định liệu F có phải là một gia đình Sperner không? Giới hạn dưới tầm thường là O ( n m ) và tôi cực kỳ nghi ngờ rằng nó không chặt chẽ.$\mathcal{F}$$m$$\mathcal{F}$$O(n m)$

$\mathcal{S}$$X$$Y$$\mathcal{S}$$X \ne Y$Y ⊈ $X \nsubseteq Y$$Y \nsubseteq X$

Bạn không thể giải quyết điều này bằng cách nhân ma trận? Đặt các bộ là , , , . Hãy ma trận là ma trận nơi nếu và 0 nếu ngược lại, và là ma trận nơi nếu và 0 khác. Bây giờ, có mục khi và chỉ khi có một bộ có trong một mục khác.S 2 ... S $S_1$$S_2$$\ldots$$S_m$m × n A i j = 1 j ∈ S i B m × n B i j = 1 j ∉ S i A B T 0 $A$$m \times n$$A_{ij}=1$$j \in S_i$$B$$m \times n$$B_{ij}=1$$j \notin S_i$$AB^T$$0$$\mathcal{F}$

Vì vậy, nếu bạn chứng minh giới hạn dưới của cho trường hợp , bạn đã chứng minh được giới hạn dưới tương tự cho phép nhân ma trận. Đây là một vấn đề mở nổi tiếng.m = θ ( n $\Omega(n^{2+\epsilon})$$m = \theta(n)$

Tôi đã không nghĩ nhiều về nó, nhưng tôi không thấy bất kỳ cách nào bạn có thể chứng minh rằng trường hợp nhân ma trận cụ thể này về cơ bản là khó như trường hợp chung; nếu bạn thực sự cần một giới hạn thấp hơn, đây dường như là hy vọng duy nhất bạn có để chứng minh mà không cần giải bài toán nhân ma trận.

Về mặt tích cực, điều này đưa ra các thuật toán cho vấn đề này tốt hơn thuật toán ngây thơ mất .$\theta(m^2n)$