Số lượng biến dạng của đồ thị cho đẳng cấu đồ thị

Hãy và là hai đồ thị kết nối -regular kích thước . Hãy là tập các hoán vị mà . Nếu thì là tập hợp các tự đẳng của . $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

Giới hạn trên được biết đến nhiều nhất trên kích thước của gì? Có bất kỳ kết quả nào cho các lớp biểu đồ cụ thể (không chứa biểu đồ hoàn thành / chu kỳ) không? $A$

Lưu ý: Xây dựng nhóm tự động hóa ít nhất là khó khăn (về độ phức tạp tính toán của nó) khi giải bài toán đẳng cấu đồ thị. Trong thực tế, chỉ cần đếm các biến dạng tự động là đa thức thời gian tương đương với đẳng cấu đồ thị, cf R. Mathon, "Một lưu ý về bài toán đếm đẳng cấu đồ thị".

— Jim
nguồn

Wormald đã chỉ ra rằng nếu là đồ thị được kết nối với 2n đỉnh thì số lượng tự động hóa của chia . Đặc biệt, điều này mang lại một giới hạn hàm mũ không tầm thường cho trường hợp . Có thể có kết quả trong dòng này cho đồ thị thường chung . $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

Đối với một ràng buộc thấp hơn, hãy xem xét công thức với đầu vào có cổng là Ngoài cửa của fan-in 2. Sau đó sử dụng một resut của Toran người ta có thể xây dựng một graph -regular với đỉnh mà nhóm automorphism mã hóa tất cả các đánh giá khả năng của . Điều này ngụ ý rằng số lượng tự động hóa của ít nhất là . Điều này cho thấy rằng có một giới hạn thấp hơn theo hàm mũ cho số lượng tự động hóa của đồ thị không đều trong chức năng của số đỉnh của nó. $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
nguồn

Vui lòng xem xét biểu đồ sau, 1. biểu đồ thông thường và biểu đồ thông thường (không có biểu đồ nào là hoàn chỉnh hoặc biểu đồ chu kỳ) được nối với nhau thông qua số cạnh E, cho biết biểu đồ được nối này là biểu đồ không đều 2. mỗi đỉnh của biểu đồ thông thường có các cạnh với biểu đồ thông thường . Không có hai đỉnh của đồ thị thông thường , có cùng số cạnh với đồ thị thông thường . Tính tự động của G có thể là số mũ?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Jim

Đúng. Đồ thị G2 có thể có số lượng tự động theo cấp số nhân. Đặt H1 là bất kỳ đồ thị thông thường r1 có n đỉnh, được đánh số 1 ... n. Hãy H2 là đồ thị thu được theo quy trình sau (chia thành 3 nhận xét). Gọi D là đồ thị kim cương, nghĩa là một chu kỳ 4 cùng với một cạnh nối hai đỉnh không liền kề trước đó. Giả sử rằng hai đỉnh này là các đỉnh bên trong của D. Hai đỉnh còn lại là các đỉnh bên ngoài của D. Rõ ràng, có một sự tự động hóa hoán đổi cả hai đỉnh bên trong và khiến các đỉnh bên ngoài không bị ảnh hưởng.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Bây giờ, hãy xem xét sự kết hợp rời rạc của hai chu kỳ C1 và C2 với n (n + 1) / 2 đỉnh được đánh số từ 1 đến n (n + 1) / 2. Cũng xem xét n (n + 1) / 2 bản sao của biểu đồ diamod. Bây giờ với mỗi i, kết nối một trong các đỉnh ngoài của D_i với đỉnh thứ i của C1 và đỉnh bên ngoài khác với đỉnh thứ i của C2. Sau đó, đồ thị H2 thu được từ quá trình này là 3 thường xuyên và có số lượng tự động theo cấp số nhân, vì các đỉnh bên trong của mỗi D_i có thể được hoán đổi riêng.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Bây giờ với mỗi đỉnh v_j của H1, chúng ta thêm 2j cạnh từ v_j vào các đỉnh bên trong của kim cương theo cách sao cho cả hai đỉnh bên trong của kim cương D_i được kết nối với cùng một đỉnh trong H1. Điều này đảm bảo rằng các đỉnh bên trong của viên kim cương vẫn có thể được hoán đổi, và do đó tổng số lượng tự động hóa trong đồ thị G2 là theo cấp số nhân.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Thật dễ dàng để chỉ ra rằng một đồ thị được kết nối có thứ tự

và có giá trị tối đa

có nhóm tự động hóa của trật tự nhiều nhất là

. Tìm thứ tự của các đỉnh sao cho bắt đầu bằng đỉnh thứ hai, mỗi đỉnh nằm liền kề với ít nhất một đỉnh xuất hiện trước đó. Đặt

là nhóm con sửa chữa các đỉnh

đầu tiên . Đây là một chuỗi các nhóm con giảm dần, với

và

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$ . Nó theo định lý quỹ đạo ổn định rằng

và

với

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— verret

Nếu bạn cho phép các đồ thị bị ngắt kết nối, thì không có giới hạn trên tốt, liên quan đến số lượng đỉnh.

Cho đồ thị -regular đưa đoàn rời nhau của hoàn chỉnh đồ thị . Khi đó đồ thị có đỉnh và tự động hóa. $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— tori
nguồn