Bằng chứng nào cho thấy rằng đẳng cấu đồ thị không có trong

23

Được thúc đẩy bởi nhận xét của Fortnow về bài đăng của tôi, Bằng chứng là vấn đề Đồng phân đồ thị không phải là -complete $NP$ và bởi thực tế là một ứng cử viên chính cho vấn đề -inter liền (không phải -complete cũng như trong ), tôi quan tâm đến các bằng chứng đã biết rằng không có trong . $GI$ $NP$ $NP$ $P$ $GI$ $P$

Một bằng chứng như vậy là tính không đồng bộ của một vấn đề Tự động hóa biểu đồ bị hạn chế (vấn đề tự động hóa biểu đồ tự do điểm cố định là -complete). Vấn đề này và các khái quát khác của đã được nghiên cứu trong " Một số vấn đề hoàn chỉnh NP tương tự như đẳng cấu đồ thị " của Lubiw. Một số người có thể lập luận như bằng chứng thực tế rằng mặc dù hơn 45 năm không ai tìm thấy thuật toán đa thức thời gian cho . $NP$ $NP$ $GI$ $GI$

Bằng chứng nào khác chúng ta phải tin rằng không có trong ? $GI$ $P$

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

2

Subgraph-isomorphism cũng là NP-hoàn chỉnh.

$\;$

1

Một số bằng chứng yếu là lớp các vấn đề đang gia tăng tương đương với không gian log, nhưng không có vấn đề nào trong số đó dường như có thuật toán đa thời gian rõ ràng. (Tất nhiên, nếu một trong số họ có thuật toán đa thời gian thì tất cả họ đều làm.)

— András Salamon

bằng chứng hoàn cảnh tương tự như P so với NP: hàng thập kỷ tối ưu hóa các thuật toán GI, ví dụ nauty vẫn có các xu hướng trường hợp xấu nhất không thể kiểm chứng bằng thực nghiệm, chủ yếu là trên các biểu đồ thông thường ngẫu nhiên.

— vzn

1

xem thêm các biểu đồ cứng để thử nghiệm GI

— vzn

Bạn nghĩ gì về điều này? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— Anna Tomskova

11

Trước câu hỏi này, ý kiến của tôi là đồ thị đẳng hình có thể ở P, tức là không có bằng chứng nào tin rằng GI không ở P. Vì vậy, tôi đã tự hỏi mình điều gì sẽ được coi là bằng chứng cho tôi: Nếu có thuật toán trưởng thành cho - đẳng cấu nhóm đã khai thác triệt để cấu trúc có sẵn của các nhóm và vẫn không có hy vọng đạt được thời gian chạy đa thức, sau đó tôi đồng ý rằng GI có thể không ở P. Có các thuật toán khai thác cấu trúc có sẵn như thử nghiệm Isomorphism cho - các nhóm. bởi O'Brien (1994) $p$ $p$ $p$ , nhưng tôi chưa đọc nó đủ chi tiết để đánh giá liệu nó có khai thác triệt để cấu trúc có sẵn hay không, liệu có hy vọng cải thiện thuật toán này (mà không khai thác thêm cấu trúc nhóm không rõ ràng ) để đạt được thời gian chạy đa thức. $p$

Nhưng tôi biết rằng Dick Lipton đã kêu gọi hành động vào gần cuối năm 2011 để làm rõ sự phức tạp tính toán của vấn đề đẳng cấu nhóm nói chung và vấn đề đẳng cấu nhóm cụ thể. Vì vậy, tôi đã googled cho $p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

để xem liệu lời kêu gọi hành động đã thành công hay chưa. Nó đã thực sự:

Bài đăng cuối cùng đánh giá một bài báo đạt được thời gian chạy cho một số nhóm quan trọng nhất định, khai thác phần lớn cấu trúc có sẵn và thừa nhận bài báo đã đề cập ở trên từ năm 1994. Bởi vì thời gian chạy bị ràng buộc Cả hai đều tương thích với kinh nghiệm rằng thực tế đẳng cấu không phải là khó trong thực tế và với kinh nghiệm không ai có thể đưa ra thuật toán thời gian đa thức (ngay cả đối với đẳng cấu nhóm), điều này có thể được tính là bằng chứng cho thấy GI không ở P . $n^{O(\log \log n)}$ $n^{O(\log \log n)}$

— Thomas Klimpel
nguồn

rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-interantly-probols cũng bật lên bởi tìm kiếm của tôi. Nó trích dẫn Định lý 2 phép đẳng cấu đồ thị là trong . Hơn nữa, mọi vấn đề về lời hứa trong thuộc về như được định nghĩa cho các vấn đề về lời hứa. ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$ ${\mathsf{SZK}}$ ${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ Đây là bằng chứng cho thấy GI không phải là NP hoàn chỉnh, nhưng đây không phải là câu hỏi ở đây. Hãy để tôi nói thêm rằng tôi thấy không có vấn đề gì với độ dài hoặc kiểu câu trả lời của tôi, bởi vì tôi diễn giải một yêu cầu về bằng chứng là một yêu cầu cho một ý kiến hợp lý.

— Thomas Klimpel

5

Tôi không làm theo lý luận của bạn. Làm thế nào bạn có thể biết rằng "cấu trúc có sẵn" là "khai thác triệt để"? Nếu bất cứ điều gì, không phải bài báo Grochow-Qiao cho thấy rằng có thể làm được nhiều hơn với các lớp học về cohomology?

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Theo "cấu trúc có sẵn", ý tôi là kiến thức về cấu trúc trong cộng đồng lý thuyết nhóm, cộng đồng liên quan và các ấn phẩm hiện có. Các ví dụ về cấu trúc không được "khai thác triệt để" là các ấn phẩm với mục tiêu chính là đưa ra một thuật toán có thể thực hiện được, do đó dừng lại ở một số điểm và chỉ đề cập đến các hạn chế còn lại mà không có chỉ dẫn rõ ràng cho dù đó là những vấn đề cơ bản. Bài báo Grochow-Qiao đã xem xét những điều đó và tấn công trực tiếp vào sự phức tạp tính toán của đẳng cấu nhóm, do đó kết quả của nó cung cấp bằng chứng tốt.

— Thomas Klimpel

11

Tập hợp hoán vị nhỏ nhất bạn phải kiểm tra để xác minh rằng không có hoán vị không tầm thường tồn tại trong cài đặt hộp đen tốt hơn nhưng vẫn theo cấp số nhân, OEIS A186202 . $n!$

Số lượng bit cần thiết để lưu trữ một biểu đồ không nhãn là của $log_{2}$ . Xem Naor, Moni. "Đại diện ngắn gọn của đồ thị không nhãn chung." Toán ứng dụng rời rạc 28.3 (1990): 303-307. Bằng chứng phương pháp nén là sạch hơn một chút nếu tôi nhớ lại. Dù sao, cho phép gọi chính xác đến. Đặt ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$ $U$ cho các biểu đồ được dán nhãn. $L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)

và nếu bạn chuyển đổi sang cấp số nhân. Chỉ cần kiểm tra chữ ký loại của họ đặt đồ thị ở dạng chính tắc có vẻ dễ dàng hơn, nhưng như được hiển thị ở trên, GC làm cho GI dễ dàng. $U^L$ $Bool^{L^{L}}$

— Nhà sản xuất bia Chad
nguồn

Cảm ơn. Làm thế nào mạnh mẽ là loại tranh luận?

— Mohammad Al-Turkistany

Có một giới thiệu để được trích dẫn rằng tài liệu kết nối này hơn nữa?

— vzn

3

@ MohammadAl-Turkistany: Đây cơ bản là một đối số phức tạp truy vấn. Nhưng thuật toán nổi tiếng, ví dụ như Babai-Luks 1983, đã đánh bại này ràng buộc, tôi nghĩ rằng bằng lãi khá lớn (giống như

so với

2^{n}

$2^n$

).

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Joshua Grochow

1

@ChadBrewbaker: Nếu mối quan tâm của bạn đang được mã hóa và độ phức tạp trong trường hợp trung bình tôi chắc chắn rằng nauty làm tốt hơn đáng kể so với thuật toán của bạn. (Lưu ý rằng là tốt nhất được biết đến dưới ràng buộc về nauty là

(Miyazaki 1996), và một thuật toán poly-thời gian được tìm thấy cho các đồ thị Miyazaki. Một phân tích đơn giản chương trình giới hạn dưới là

trên thuật toán của bạn.) Ngoài ra, GI là trong thời gian tuyến tính trường hợp trung bình (Babai-Kucera).

Ω (2^{n / 20})

$\Omega(2^{n/20})$

(3 / 2)^{n}

$(3/2)^n$

— Joshua Grochow

2

@ MohammadAl-Turkistany: câu hỏi này đã khiến tôi suy nghĩ sâu sắc hơn về niềm tin của mình về sự phức tạp của GI. Re: câu hỏi khác của bạn, lưu ý rằng nếu không có giảm Turing nhiều lần (hoặc thậm chí nhiều lần) từ GI sang GA thì P

NP.

\neq

$\neq$

— Joshua Grochow

8

Kozen trong bài báo của mình, Một vấn đề bè lũ tương đương với phép đẳng cấu đồ thị , đưa ra một bằng chứng cho thấy không có trong . Sau đây là từ bài báo: $GI$ $P$

"Tuy nhiên, có khả năng việc tìm ra thuật toán thời gian đa thức cho đẳng cấu đồ thị sẽ khó như tìm thuật toán thời gian đa thức cho bài toán hoàn thành NP. Để hỗ trợ cho tuyên bố này, chúng tôi đưa ra một vấn đề tương đương với đẳng cấu đồ thị, một nhiễu loạn nhỏ trong đó là NP-hoàn thành. "

Ngoài ra, Babai trong bài báo đột phá gần đây của ông về đồ thị đẳng cấu trong thời gian quasipolynomial đưa ra một lập luận chống lại sự tồn tại của các thuật toán hiệu quả cho GI. Ông nhận xét rằng vấn đề nhóm đẳng cấu (đó là rút gọn về GI) là một trở ngại lớn để đặt GI trong . Nhóm đẳng cấu vấn đề (nhóm được đưa ra bởi tableis Cayley của họ) là có thể giải quyết trong và nó không được biết đến là trong . $P$ $n^{O(\log n)}$ $P$

Đây là một đoạn trích từ bài báo của Babai:

Kết quả của bài báo hiện tại khuếch đại tầm quan trọng của vấn đề Đồng phân nhóm (và vấn đề thách thức đã nêu) như một rào cản đối với việc đặt GI vào P. Hoàn toàn có thể là trạng thái trung gian của GI (không phải là NP hoàn chỉnh, cũng không phải thời gian đa thức) sẽ tồn tại

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

2

Từ Lemzen của Lemzen. 3 người ta có thể lấy một ví dụ đơn giản hơn về hiện tượng này: cụ thể là Đồng phân biểu đồ cảm ứng (là

một sơ đồ con cảm ứng của

) chính xác là GI khi

, nhưng NP-hard khi

cho bất kỳ

H

$H$

G

$G$

| G | = | H |

$|G|=|H|$

| G | = c | H |

$|G|=c|H|$

c > 1

$c > 1$ . Đối với các tham số rời rạc, chúng tôi biết có những vấn đề trong P nhanh chóng trở thành NP-perfect (ví dụ 2SAT so với 3SAT). Bạn có biết nếu có các ví dụ về các vấn đề trong P với một số tham số liên tục trở thành NP hoàn chỉnh ở ngưỡng sắc nét không? Nếu vậy, thì lý do kiểu này sẽ không có nhiều bằng chứng cho thấy GI không thuộc P, nhưng tôi không thể nghĩ ra một ví dụ như vậy ngoài đỉnh đầu.

— Joshua Grochow

2

@JoshuaGrochow Không, tôi không biết về bất kỳ vấn đề quyết định nào như vậy. Nhưng đối với bài toán tối ưu Tôi biết rằng việc tìm kiếm một bài tập đáp ứng

của những mệnh đề trong

trong khi việc tìm kiếm một bài tập đáp ứng

của các điều khoản được

-Hard ngay cả đối với các công thức 3SAT satisfiable (

).

7 / 8

$7/8$

P

$P$

7 / 8 + ϵ

$7/8+ϵ$

N P

$NP$

ϵ > 0

$ϵ>0$

— Mohammad Al-Turkistany

Rất tiếc, câu trả lời của Klimpel đã chứa bằng chứng đẳng cấu nhóm. Dù sao, thật hữu ích khi có quan điểm của Babai về vấn đề này.

— Mohammad Al-Turkistany

Babai rút lại yêu cầu của thời gian chạy quasipolynomial . Rõ ràng đã có một lỗi trong phân tích.

— Raphael

5

đây là những kết quả khác chưa được trích dẫn

Về độ cứng của đồ thị đẳng hình / Torán FOCS 2000 và SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

Chúng tôi chỉ ra rằng vấn đề đẳng cấu đồ thị rất khó đối với đồng nhất DLOGTIME AC ⁰ nhiều giảm một cho các lớp phức tạp NL, PL (không gian logarit xác suất) cho mọi lớp mô đun không gian logarit Mod _k L và cho lớp DET của các vấn đề NC ¹ có thể giảm yếu tố quyết định. Đây là các kết quả độ cứng mạnh nhất được biết đến cho bài toán đẳng cấu đồ thị và ngụ ý giảm không gian logarit ngẫu nhiên từ bài toán so khớp hoàn hảo sang đẳng cấu đồ thị. Chúng tôi cũng điều tra các kết quả độ cứng cho vấn đề tự động hóa đồ thị.
Đồ thị đẳng cấu không phải là AC ⁰ có thể khử thành nhóm đẳng cấu nhóm / Hayopadhyay, Toran, Wagner

Chúng tôi đưa ra một giới hạn trên mới cho các vấn đề Đồng phân nhóm và Quasigroup khi các cấu trúc đầu vào được đưa ra rõ ràng bằng các bảng nhân. Chúng tôi chỉ ra rằng những vấn đề này có thể được tính toán bằng các mạch không giới hạn kích thước đa thức của quạt không giới hạn với độ sâu O (log log n) và O (log ² n) bit không xác định, trong đó n là số phần tử nhóm. Điều này cải thiện giới hạn trên hiện có từ [Wol94] cho các vấn đề. Trong giới hạn trên trước, các mạch có giới hạn fanin nhưng độ sâu O (log ² n) và O (log ² n) bit không xác định. Sau đó, chúng tôi chứng minh rằng các loại mạch từ giới hạn trên của chúng tôi không thể tính được hàm Parity. Vì chẵn lẻ là AC ⁰có khả năng giảm đối với đẳng cấu đồ thị, điều này hàm ý rằng đẳng cấu đồ thị khó hơn so với đẳng cấu nhóm hoặc nhóm Quasigroup theo thứ tự được xác định bởi các mức giảm AC ⁰ .

— vzn
nguồn

4

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

lại là "giới hạn dưới được biết đến mạnh nhất trên GI", ofc GI nằm trong NP nên một bằng chứng thực tế rằng GI không nằm trong P tương đương với P ≠ NP! (có thể thông qua NPI ∅) ...

— vzn

4

Vâng, nhưng, ví dụ, thật tuyệt khi biết rằng GI là P-hard! (Tất nhiên, độ cứng P có rất ít liên quan đến việc chỉ ra rằng một cái gì đó không có trong P, nhưng ít nhất nó sẽ gợi ý rằng GI không ở NC!)

— Joshua Grochow