Hằng số trong phỏng đoán Komlos

Với vectơ v 1 , ... , v n ∈ R N với ‖ v i ‖ 2 2 ≤ 1 ở mọi i ∈ { 1 , ... , n } , bang Komlos phỏng đoán rằng, có một c ∈ R (không phụ thuộc vào n , N ) sao cho tại một số ε ∈ { - 1 , + 1 } n , $n$$v_1,\dots,v_n\in\Bbb R^N$$\|v_i\|_2^2\leq1$$i\in\{1,\dots,n\}$$c\in\Bbb R$$n,N$$\epsilon\in\{-1,+1\}^n$Điều gì là tốt nhấtgiới hạn dướiđược biết đến choc?

Tốt nhất trên ràng buộc là .$c=O(\sqrt{\log n})$

Có một tập hợp các ví dụ cho cho bất kỳ δ > 0 nơi Komlos phỏng đoán không?$c=1+\delta$$\delta>0$

Một cách đơn giản để có được giới hạn dưới là để xem xét các cặp vectơu,v∈R. Trước hết, nên tập trung vào các cặp vectơ đơn vị mà tất cả cáckết hợp tuyến tính{-1,1}càng dài càng tốt (lưu ý rằng đây chỉ là một trường hợp đặc biệt thú vị, tôi không nói rằng đó là opotimal trong bất kỳ cách nào). Điều này đạt được khiu,vlà trực giao và bằng cách kiểm tra các phép quay có thể, chúng ta thấy rằngu=$c\ge\sqrt{2}$$u,v\in\mathbb{R}$$\{-1,1\}$$u,v$cho thấycphải có ít nhất$u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1), v=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$$c$ .$\sqrt{2}$

Ví dụ này có thể được khái quát thành các bộ vectơ , trong đóhệ sốj(vi,k)jcủavi,klà1nếuchữ số nhị phâni-thtrongjlà0và-1nếu không.$V_k=\{2^{-\frac{k}{2}}v_{i,k}\ |\ 0\le i\le k\}\subseteq\mathbb{R}^{2^k}$$j$$(v_{i,k})_j$$v_{i,k}$$1$$i-th$$j$$0$$-1$

Các -norm của bất kỳ { - 1 , 1 } kết hợp -linear của các vectơ trong V k là ( k + 1 ) 2 - $\infty$$\{-1,1\}$$V_k$ , đạt tối đa$(k+1)2^{-\frac{k}{2}}$ tạik=2, với tập các vectơ$\frac{3}{2}$$k=2$

$V_2=\{\frac{1}{2}(1,1,1,1),\frac{1}{2}(1,1,-1,-1),\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)\}$

Có thể có giới hạn dưới tốt hơn, nhưng đây là một sự khởi đầu.

$v_i$$c \geq \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.633$

$O(\sqrt{\log n})$