Tài liệu tham khảo cho thuật toán kiểm tra chu kỳ hỗn hợp đồ thị?

Biểu đồ hỗn hợp là một biểu đồ có thể có cả hai cạnh có hướng và không có hướng. Đồ thị vô hướng nằm bên dưới của nó có được bằng cách quên các hướng của các cạnh được định hướng và theo hướng khác, một hướng của đồ thị hỗn hợp có được bằng cách gán một hướng cho mỗi cạnh không được định hướng. Một tập hợp các cạnh tạo thành một chu kỳ trong một biểu đồ hỗn hợp nếu nó có thể được định hướng để tạo thành một chu trình có hướng. Một đồ thị hỗn hợp là chu kỳ khi và chỉ khi nó không có chu kỳ.

Đây là tất cả các tiêu chuẩn và có nhiều bài báo được công bố đề cập đến đồ thị hỗn hợp theo chu kỳ. Vì vậy, phải biết thuật toán sau đây để kiểm tra tính linh hoạt của đồ thị hỗn hợp:

Lặp lại các bước sau:

• Loại bỏ bất kỳ đỉnh nào không có cạnh hướng đến và không có cạnh vô hướng nào, vì nó không thể là một phần của bất kỳ chu kỳ nào.
• Nếu bất kỳ đỉnh nào không có cạnh được định hướng đến nhưng nó có chính xác một sự cố không có cạnh, thì bất kỳ chu kỳ nào sử dụng cạnh không bị chặn phải xuất hiện ở cạnh đó. Thay thế cạnh vô hướng bằng cạnh hướng đến.

Dừng lại khi không thể thực hiện thêm các bước. Nếu kết quả là một biểu đồ trống, thì biểu đồ ban đầu nhất thiết phải có tính chu kỳ. Mặt khác, bắt đầu từ bất kỳ đỉnh nào còn lại, người ta có thể quay lại qua biểu đồ, ở mỗi bước tiếp theo lùi qua một cạnh đến hoặc theo một cạnh không được xác định không phải là đỉnh được sử dụng để đạt đến đỉnh hiện tại, cho đến khi nhìn thấy một đỉnh lặp lại. Chuỗi các cạnh theo sau giữa lần lặp thứ nhất và lần thứ hai của đỉnh này (theo thứ tự ngược lại) tạo thành một chu kỳ trong biểu đồ hỗn hợp.

Bài viết Wikipedia về các biểu đồ hỗn hợp đề cập đến các biểu đồ hỗn hợp theo chu kỳ nhưng không đề cập đến cách kiểm tra chúng, vì vậy tôi muốn thêm vào đó một vài điều về thuật toán này, nhưng tôi cần một tài liệu tham khảo được xuất bản. Ai đó có thể cho tôi biết nó (hoặc bất kỳ thuật toán nào khác để kiểm tra tính linh hoạt) xuất hiện trong tài liệu không?

Tìm chu trình hỗn hợp trong đồ thị hỗn hợp tương đương với tìm chu trình có hướng cơ bản (có độ dài> = 3) trong đồ thị có hướng tương ứng. Biểu đồ có hướng tương ứng được lấy từ biểu đồ hỗn hợp bằng cách thay thế mỗi cạnh không được định hướng bằng hai cạnh được chỉ theo hướng ngược nhau. Chứng minh: (1) Mỗi ​​chu kỳ định hướng cơ bản (có độ dài> = 3) trong sơ đồ tương ứng trực tiếp với một chu trình hỗn hợp trong biểu đồ hỗn hợp. (2) Mỗi ​​chu kỳ hỗn hợp trong biểu đồ hỗn hợp chứa một chu trình hỗn hợp cơ bản có chiều dài> = 3 và mỗi chu kỳ như vậy tương ứng trực tiếp một chu kỳ định hướng cơ bản (có độ dài> = 3) trong biểu đồ có hướng. (1) và (2) cùng nhau chứng minh cả hai hướng của tuyên bố, qed. Vì vậy, chúng tôi đang tìm kiếm tài liệu tham khảo cách tính (tất cả?) Chu kỳ cơ bản (có độ dài> = 3) trong biểu đồ có hướng.

Các ý kiến ​​chỉ ra rằng cs.stackexchange chứa một số câu trả lời cho câu hỏi này, nhưng không rõ làm thế nào để sắp xếp các kết quả thành một câu trả lời súc tích. Bài đăng trên blog này dường như tóm tắt độc đáo các tài liệu tham khảo quan trọng nhất (nhất?):

Thuật toán của R. Tarjan

Thuật toán đầu tiên mà tôi đưa vào đã được R. Tarjan xuất bản năm 1973.

Enumeration of the elementary circuits of a directed graph
R. Tarjan, SIAM Journal on Computing, 2 (1973), pp. 211-216
http://dx.doi.org/10.1137/0202017

Thuật toán của DB Johnson

Thuật toán của DB Johnson từ năm 1975 cải thiện thuật toán của Tarjan bởi độ phức tạp của nó.

Finding all the elementary circuits of a directed graph.
D. B. Johnson, SIAM Journal on Computing 4, no. 1, 77-84, 1975.
http://dx.doi.org/10.1137/0204007

Trong trường hợp xấu nhất, thuật toán của Tarjan có độ phức tạp thời gian là O (n⋅e (c + 1)) trong khi thuật toán của Johnson được cho là giữ ở O ((n + e) ​​(c + 1)) trong đó n là số các đỉnh, e là số cạnh và c là số chu kỳ trong đồ thị.

Thuật toán của KA Hawick và HA James

Thuật toán của KA Hawick và HA James từ năm 2008 cải thiện hơn nữa về thuật toán của Johnson và loại bỏ những hạn chế của nó.

Enumerating Circuits and Loops in Graphs with Self-Arcs and Multiple-Arcs.
Hawick and H.A. James, In Proceedings of FCS. 2008, 14-20
www.massey.ac.nz/~kahawick/cstn/013/cstn-013.pdf
http://complexity.massey.ac.nz/cstn/013/cstn-013.pdf

Trái ngược với thuật toán của Johnson, thuật toán của KA Hawick và HA James có thể xử lý các biểu đồ chứa các cạnh bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh cũng như nhiều cạnh nối cùng hai đỉnh.

Bản thân việc kiểm tra tính chu kỳ dường như rất dễ dàng: Tính toán các thành phần được kết nối mạnh mẽ của biểu đồ. Bất kỳ chu kỳ (cơ bản) nào được chứa hoàn toàn trong một thành phần được kết nối mạnh mẽ. Một thành phần được kết nối mạnh mẽ chứa một chu trình cơ bản nếu nó không phải là một cây không bị ảnh hưởng.

Thuật toán đề xuất của David Eppstein cũng tính toán thêm một chu kỳ cơ bản làm bằng chứng và các thuật toán trên liệt kê tất cả các chu kỳ cơ bản. Bất kỳ đỉnh hoặc cạnh không có trong một chu kỳ cơ bản có thể bị xóa như một bước tiền xử lý để cải thiện tốc độ của các thuật toán trên. Thuật toán của David Eppstein có thể được sử dụng cho mục đích đó, nhưng ngay cả khi chỉ được sử dụng trên các thành phần được kết nối mạnh, nó sẽ không xóa mọi đỉnh hoặc cạnh có thể bị xóa. Nhưng ngay cả khi nó có thể được mở rộng để làm như vậy (tính toán cây cắt khối ít nhất cho phép xóa mọi đỉnh có thể bị xóa), không rõ liệu điều này có thực sự cải thiện tốc độ của các thuật toán trên hay không.