Kiểm tra sự tương đương của hai polytopes

14

Hãy xem xét một vectơ của các biến và một tập các ràng buộc tuyến tính được chỉ định bởi . $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

Hơn nữa, hãy xem xét hai đa giác

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) | Một \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) | Một \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

nơi 's và ' s là affine ánh xạ. Cụ thể, chúng có dạng . (Chúng tôi lưu ý rằng và là đa giác vì chúng là "ánh xạ affine" của đa giác .) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

Câu hỏi là, làm thế nào để quyết định xem và có bằng nhau không? Sự phức tạp là gì? $P_1$ $P_2$

Động lực của vấn đề là từ các mạng cảm biến, nhưng nó dường như là một vấn đề hình học đáng yêu (có lẽ là cơ bản?). Người ta có thể giải quyết vấn đề này trong thời gian ngắn, có thể bằng cách liệt kê tất cả các đỉnh của và , nhưng có cách tiếp cận nào tốt hơn không? $P_1$ $P_2$

— maomao
nguồn

2

Bạn có ý nghĩa gì bởi hai đa giác là tương đương? Ba cách giải thích ngay lập tức đến với tôi: bằng nhau như bộ, tương đương chắc chắn và tương đương kết hợp. Hai câu trả lời hiện có giả định khác nhau.

— Tsuyoshi Ito

Ý tôi là bình đẳng như bộ.

— maomao

Vui lòng chỉnh sửa câu hỏi để bao gồm làm rõ. Đừng để nó trong phần bình luận. Các câu hỏi nên được khép kín: mọi người không cần phải đọc các bình luận để hiểu những gì bạn đang hỏi. Cảm ơn bạn.

— DW

12

Tôi không thể nói chắc chắn nếu bạn sẽ xem xét cách tiếp cận sau là tốt hơn, nhưng từ quan điểm lý thuyết phức tạp, có một giải pháp hiệu quả hơn. Ý tưởng là để viết lại câu hỏi của bạn trong lý thuyết bậc nhất của các tỷ lệ hợp lý với phép cộng và thứ tự. Bạn có được bao gồm trong khi và chỉ khi $P_1$ $P_2$ là hợp lệ. Rõ ràng làm thế nào để có được sự tương đương củavàtheo cùng một cách. Bây giờcó một tiền tố lượng hóa-luân phiên cố định, và do đó decidable trong, cấp độ thứ hai của hệ thống phân cấp thời gian đa thức (Sontag, 1985

\begin{aligned} Φ : = \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (Một \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (Một \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq Tôi \leq m}{⋀} f_{Tôi} (\vec{x}) = = g_{Tôi} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ ). Tôi khá tự tin rằng cũng có thể chứng minh một giới hạn khớp thấp hơn, tôi nhớ lại việc đọc ở đâu đó rằng sự bao gồm giữa hai đa giác là

-hard.

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Nếu bạn đang tìm kiếm sự hỗ trợ công cụ để giải quyết các vấn đề như vậy trong thực tế, các bộ giải hiện đại của SMT như z3 hoàn toàn hỗ trợ lý thuyết này.

— Christoph Haase
nguồn

5

$Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— Denis Pankratov
nguồn

2

Tôi không nghĩ rằng lập luận này hoạt động - nó bỏ qua kích thước của đơn giản được đưa ra bởi định lý được trích dẫn. (x là một phần của đầu vào, do đó, bất kỳ mức giảm nào cũng cần đảm bảo rằng nó bị giới hạn về mặt đa thức)

— Colin McQuillan

Điểm tốt! Có vẻ như yêu cầu của tôi vẫn phải thông qua, nhưng chúng tôi phải đi sâu vào bằng chứng trong bài báo mà tôi đã trích dẫn. Bắt đầu với một biểu đồ, họ xây dựng một đa giác, sao cho hai biểu đồ là đẳng cấu khi và chỉ khi các đa giác tương ứng là đẳng cấu. Các đa giác của chúng có số đỉnh đa thức và mô tả đỉnh của chúng có thể được tính trong thời gian đa thức. Do đó, chúng ta có thể lấy (A, b) là một đơn vị theo chiều là số đỉnh và f là hình chiếu affine cung cấp cho đa giác có thể thu được từ mô tả đỉnh.

— Denis Pankratov