Đi bộ ngẫu nhiên và có nghĩa là thời gian đánh trong một đồ thị vô hướng đơn giản

Đặt là một đồ thị vô hướng đơn giản trên n đỉnh và m cạnh.$G=(V,E)$$n$$m$

Tôi đang cố gắng để xác định thời gian chạy dự kiến của thuật toán Wilson để tạo ra một cây bao trùm ngẫu nhiên của . Ở đó, nó được chứng minh là O ( τ ) , nơi τ là thời gian hit trung bình : τ = Σ v ∈ V π ( v ) ⋅ H ( u , v ) , nơi:$G$$O(\tau)$$\tau$

• làphân phối cố định π ( v ) = d ( v $\pi$ ,$\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}$
• là một đỉnh tùy ý và$u$
• làthời gian nhấn(thời giantruy cậpAKA), nghĩa là, số bước dự kiến ​​trước khi đỉnh v được truy cập, bắt đầu từ đỉnh u .$H(u,v)$$v$$u$

Giới hạn trên chung cho thời gian đánh trung bình là gì? Và đồ thị trường hợp xấu nhất tối đa hóa thời gian đánh là gì?$G$

Để làm rõ câu hỏi của tôi, tôi không yêu cầu tính toán hoặc bằng chứng chi tiết (mặc dù chúng có thể hữu ích cho những người khác gặp phải câu hỏi này trong tương lai). Đối với cá nhân tôi, một trích dẫn sẽ là đủ.

$\Theta(n)$$\Theta(n \log n)$

$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$$O(n^2)$$O(n^3)$

Có hai triển khai công khai thuật toán của Wilson mà tôi biết. Một là trong Thư viện đồ thị Boost , trong khi thứ hai là trong công cụ đồ thị . Tài liệu về cái trước không đề cập đến thời gian chạy, trong khi cái sau nói:

$O(n \log n)$

Điều này không trả lời câu hỏi, và thực sự dường như không phù hợp với bài viết của Wilson. Nhưng tôi báo cáo điều này chỉ trong trường hợp, để tiết kiệm thời gian của bất kỳ ai có cùng ý tưởng về tư vấn thực hiện tài liệu.

$\Omega(n^3)$$\frac{1}{n}$$O(n^2)$

$4n^3/27$$\frac{2}{3} n$

Tôi đã quyết định tự hỏi David Wilson, ngay sau đó nhận được câu trả lời:

$n$$\Theta(n^3)$$n/3$$n/3$$H(x,y)$$x$$y$$H(x,y)$$x$$y$$x$

Thậm chí còn có một bằng chứng về thực tế này trong cuốn sách nói trên, như sau:

$n=2n_1+n_2$$n_1$$v_l \neq v_L$$v_R \neq v_r$$v_L - w_1 - \cdots w_{n_2} - v_R$

$n_1$$v_L$$\frac{1}{n_1}$$w_1$$n_1^2$$w_1$$w_1$$\frac{1}{n_2}$$n_1^2 n_2$

$n_1 = n_2 = n/3$$O(n^3)$

Phải thừa nhận rằng, tôi đã thua tại thời điểm họ tuyên bố:

$w_1$$\frac{1}{n_2}$

$\frac{(n+1)^3}{54}$

Tuy nhiên, ý kiến ​​về bằng chứng không chính thức vẫn được hoan nghênh.

Trong một bài báo gần đây , chúng tôi đã tìm thấy một mn giới hạn trên (không có O lớn) về số lượng "chu kỳ xuất hiện" dự kiến ​​theo thuật toán của Wilson và nó được thắt chặt với các hằng số. Nó không trả lời trực tiếp câu hỏi về thời gian chạy của thuật toán Wilson vì kích thước trung bình của các chu kỳ xuất hiện dường như không rõ ràng. Mặt khác, tôi không có đủ "danh tiếng" để bình luận ...