Có một vấn đề tự nhiên trong thời gian đa thức, nhưng không phải trong thời gian đa thức?

László Babai gần đây đã chứng minh rằng vấn đề Đồng phân đồ thị là trong thời gian quasipolynomial . Xem thêm bài nói chuyện của anh ấy tại Đại học Chicago, ghi chú từ các cuộc nói chuyện của Jeremy Kun GLL bài 1 , GLL bài 2 , GLL bài 3 .

Theo định lý của Ladner, nếu , thì không trống, tức là chứa các vấn đề không nằm trong cũng như -complete. Tuy nhiên, ngôn ngữ được xây dựng bởi Ladner là giả tạo và không phải là vấn đề tự nhiên. Không có vấn đề tự nhiên nào được biết đến trong ngay cả khi có điều kiện theo . Nhưng một số vấn đề được cho là ứng cử viên tốt cho , chẳng hạn như số nguyên nhân và GI.$P \neq NP$$NPI$$NP$$P$$NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$

Chúng tôi có thể nghĩ rằng với kết quả của Babai, có thể có thuật toán thời gian đa thức cho GI. Nhiều chuyên gia tin rằng .$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

Có một số vấn đề mà chúng ta biết các thuật toán thời gian đa thức, nhưng không có thuật toán thời gian đa thức nào được biết đến. Những vấn đề như vậy phát sinh trong các thuật toán gần đúng; một ví dụ nổi tiếng là bài toán cây Steiner có hướng, trong đó có thuật toán xấp xỉ thời gian gần đúng đa thức đạt tỷ lệ xấp xỉ ( là số đỉnh). Tuy nhiên, cho thấy sự tồn tại của thuật toán thời gian đa thức như vậy là một vấn đề mở.$O(\log^3 n)$$n$

Câu hỏi của tôi:

Chúng ta có biết bất kỳ vấn đề tự nhiên nào trong $QP$ nhưng không phải ở $P$ không?

Trên thực tế, có khá nhiều công trình gần đây về việc chứng minh thời gian chạy bán đa thức bị ràng buộc thấp hơn cho các vấn đề tính toán, chủ yếu dựa trên giả thuyết thời gian theo cấp số nhân. Dưới đây là một số kết quả cho các vấn đề mà tôi cho là khá tự nhiên (tất cả các kết quả dưới đây đều có điều kiện trên ETH):

• Aaronson, Impagliazzo và Moshkovitz [1] cho thấy thời gian đa thức thấp hơn giới hạn cho các vấn đề thỏa mãn ràng buộc dày đặc (CSP). Lưu ý rằng cách xác định CSP trong bài viết này cho phép tên miền lớn về mặt đa thức, như trường hợp tên miền nhỏ được biết là có PTAS.

• Braverman, Ko và Weinstein [2] chứng minh một thời gian gần như đa thức thấp hơn bị ràng buộc cho việc tìm kiếm -best ε -approximate cân bằng Nash, mà phù hợp với Lipton et al. Của thuật toán [3].$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman, Ko, Rubinstein và Weinstein [4] cho thấy một thời gian gần như đa thức thấp hơn bị ràng buộc cho xấp xỉ dày đặc nhất -subgraph với đầy đủ hoàn hảo (ví dụ được đưa ra một đồ thị có chứa một k -clique, tìm thấy một đồ thị con của kích thước k có nghĩa là ( 1 - ϵ ) -dense cho một số hằng số nhỏ ϵ ). Một lần nữa, có một thuật toán thời gian đa thức cho bài toán (Feige và Seltser [5]).$k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

Người giới thiệu

1. AM với nhiều Merlins. Trong Độ phức tạp tính toán (CCC), Hội nghị IEEE 29 năm 2014, trang 44 Tắt55, tháng 6 năm 2014.

2. Mark Braverman, Young Kun Ko và Omri Weinstein. Xấp xỉ mức cân bằng nash tốt nhất trong thời gian phá vỡ giả thuyết thời gian theo cấp số nhân. Trong Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề ACM-SIAM hàng năm lần thứ sáu mươi về các thuật toán rời rạc, SODA '15, trang 970 Lỗi982. SIAM, 2015.$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis và Aranyak Mehta. Chơi các trò chơi lớn bằng các chiến lược đơn giản. Trong Kỷ yếu của Hội nghị ACM lần thứ 4 về Thương mại điện tử, EC '03, trang 36 mộc41, New York, NY, USA, 2003. ACM.

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein và Omri Weinstein. Độ cứng ETH cho Densest- -Subgraph với độ hoàn hảo hoàn hảo. Colloquium điện tử về độ phức tạp tính toán (ECCC), 22:74, 2015.$k$

5. U. Feige và M. Seltser. Trên các vấn đề -subgraph dày đặc nhất . Báo cáo kỹ thuật, 1997.$k$

Megiddo và Vishkin chứng minh rằng tối thiểu trận đấu bên phía bộ trong giải đấu là trong . Họ đã chỉ ra rằng tập hợp thống trị giải đấu có thuật toán P-time iff SAT có thuật toán thời gian phụ. Do đó, vấn đề thiết lập giải đấu không thể ở P trừ khi ETH sai.$QP$$P$

Điều rất thú vị là lưu ý rằng giả thuyết thời gian theo hàm mũ đồng thời ngụ ý rằng tập hợp thống trị giải đấu không thể có thuật toán thời gian đa thức và nó không thể là -complete$NP$ . Nói cách khác, ETH ngụ ý rằng bộ thống trị giải đấu nằm trong -inter Ngay.$NP$

Woeginger gợi ý một vấn đề ứng cử viên có thể giải quyết được trong thời gian đa thức và có lẽ không có thuật toán thời gian đa thức: Với số nguyên, bạn có thể chọn log n trong số chúng cộng 0 không?$n$$\log n$$0$

Tính toán kích thước VC dường như không có trong thời gian đa thức, nhưng có thuật toán thời gian quasipolynomial.

Ngoài ra, có vẻ khó phát hiện một cụm được trồng có kích thước trong một biểu đồ ngẫu nhiên, nhưng người ta có thể tìm thấy chúng trong thời gian quasipolynomial; mặc dù bản chất của vấn đề hứa hẹn này có phần khác so với những vấn đề khác được đề cập.$O(\log n)$

Nếu giả thuyết thời gian theo cấp số nhân là chính xác (hoặc thậm chí các phiên bản yếu hơn), thì người ta không thể giải 3SAT cho các trường hợp có số lượng biến đa giác trong thời gian đa thức. Tất nhiên, thời gian đa thức có thể giải quyết các trường hợp như vậy một cách dễ dàng.

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Các trò chơi Solving Parity gần đây đã được hiển thị trong QP: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

Tuy nhiên, bài báo gần đây đã tạo ra một bước nhảy đáng kể đến QP. Vẫn chưa biết liệu những trò chơi này có ở P.

Trong các thuật toán cổ điển, phân rã tương quan và các số 0 phức tạp của các hàm phân vùng của các hệ cơ thể lượng tử của Aram Harrow, Saeed Mehraban và Mehdi Soleimanifar

một thuật toán cổ điển thời gian đa thức ước tính hàm phân vùng của các hệ nhiều lượng tử ở nhiệt độ trên điểm chuyển pha pha nhiệt

được trình bày.

Không có nhiều điều có thể nói ở đây về phần "nhưng không phải trong thời gian đa thức" của câu hỏi. Thậm chí có khả năng thuật toán thời gian đa thức sẽ được tìm thấy sau này, dựa trên lịch sử của công việc trước đó, xem bên dưới.

Làm thế nào là "ước tính hàm phân vùng" liên quan đến các thuật toán gần đúng? Công việc trước đó (trang 11):

Có một cách tiếp cận khái niệm khác nhau gần đây để ước tính hàm phân vùng, đó là nền tảng của công việc này. Cách tiếp cận này xem hàm phân vùng là một đa thức chiều cao và sử dụng khai triển Taylor rút gọn để mở rộng giải pháp tại một điểm dễ dàng tính toán đến một chế độ tham số không tầm thường. Kể từ khi được giới thiệu [Bar16a], phương pháp này đã được sử dụng để thu được các thuật toán xác định cho các vấn đề thú vị khác nhau, chẳng hạn như các mô hình Ising sắt từ và phản sắt từ [LSS19b, PR18] trên các biểu đồ giới hạn.

bao gồm

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair và Piyush Srivastava. Hàm phân vùng Ising: số không và xấp xỉ xác định. Tạp chí Vật lý Thống kê, 174 (2): 287 Từ315, 2019. arXiv: 1704.06493

trong đó đề cập đến phần sau trong phần này về công việc liên quan:

Trong một dòng công việc song song, Barvinok đã khởi xướng nghiên cứu về xấp xỉ Taylor của logarit của hàm phân vùng, dẫn đến thuật toán xấp xỉ thời gian quasipolynomial cho nhiều vấn đề đếm [6, 7, 9, 10]. Gần đây, Patel và Regts [41] đã chỉ ra rằng đối với một số mô hình có thể được viết dưới dạng tổng của biểu đồ con, người ta thực sự có thể có được một FPTAS từ phương pháp này.

[41] V. Patel và G. Regts. Các thuật toán xấp xỉ thời gian đa thức xác định cho các hàm phân vùng và đa thức đồ thị. SIAM J. Comput., 46 (6) : 1893 Từ1919 , tháng 12 năm 2017. arXiv: 1607.01167

Tóm lại, "ước tính hàm phân vùng" có liên quan chặt chẽ với các thuật toán xấp xỉ và đã có các thuật toán xấp xỉ thời gian quasipolynomial cho một loạt các vấn đề đếm, và đối với một số trong những FPTAS đó đã thu được. Vì vậy, về tổng thể, lớp các vấn đề liên quan đến chức năng phân vùng này dường như tạo ra các thuật toán xấp xỉ thời gian quasipolynomial, nhưng thường các cải tiến sau này đạt được thời gian đa thức.