Số lần cắt của biểu đồ mà không sử dụng thuật toán của Karger

Chúng tôi biết rằng thuật toán cắt xén của Karger có thể được sử dụng để chứng minh (theo cách không mang tính xây dựng) rằng số lần cắt tối đa có thể có mà một biểu đồ có thể có là select .$n \choose 2$

Tôi đã tự hỏi liệu bằng cách nào đó chúng ta có thể chứng minh danh tính này bằng cách đưa ra một bằng chứng phỏng đoán (chứ không phải tiêm chích) từ tập hợp các phép cắt cho một tập hợp khác của cardinality n \ select 2$n \choose 2$ . Không có lý do cụ thể, nó chỉ là một sự tò mò. Tôi đã cố gắng tự làm nhưng đến nay vẫn chưa có thành công. Tôi sẽ không muốn bất kỳ ai lãng phí thời gian cho việc này và vì vậy nếu câu hỏi dường như vô nghĩa, tôi sẽ yêu cầu người điều hành hành động phù hợp.

Tốt nhất -Akash

Giới hạn tôi nghĩ ban đầu được Dinitz, Karzanov và Lomonosov chứng minh vào năm 1976, trong "Một cấu trúc cho hệ thống tất cả các vết cắt tối thiểu của đồ thị". Có lẽ bạn có thể tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm trong bài báo này, nhưng tôi không chắc nó có trực tuyến hay không.$\binom{n}{2}$

Một cách không chính thức, người ta có thể lập luận rằng để có số lần cắt tối đa, tất cả các nút trong biểu đồ phải có cùng mức độ.

Hãy để một vết cắt chia một đồ thị thành hai tập hợp các nút C và ˉ C mà C ∩ ˉ C = ∅ . Đặt số lần cắt tối thiểu trong biểu đồ được ký hiệu là m c ( G ) .$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

Xét một đồ thị được kết nối với đỉnh trong đó mỗi đỉnh có độ hai. Đây phải là biểu đồ chu kỳ và vết cắt tối thiểu là hai cạnh. Rõ ràng là việc cắt hai cạnh bất kỳ sẽ dẫn đến vết cắt và vết cắt như vậy là vết cắt tối thiểu. Vì có n ( n - 1 ) / 2 cặp cạnh khác nhau nên có n ( n - 1 ) / 2 vết cắt tối thiểu.$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

Tạo một biểu đồ mới bằng cách loại bỏ một cạnh khỏi biểu đồ chu kỳ. Việc cắt tối thiểu của đồ thị mới là một cạnh và cắt bất kỳ cạnh nào cũng đủ: có lần cắt như vậy có thể được thực hiện.$n-1$

Tạo một biểu đồ mới bằng cách thêm một cạnh vào biểu đồ chu kỳ. Bây giờ hai nút có độ ba và nút có độ hai. Mức độ ba nút phải cả hai thuộc về C hoặc cả hai thuộc về ˉ C . Lưu ý rằng trong trường hợp của đồ thị chu kỳ, không có nút bị hạn chế xuất hiện cùng nhau trong C hoặc ˉ C . Hàm ý là việc thêm một cạnh sẽ thêm một ràng buộc, làm giảm số lần cắt tối thiểu.$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

Thúc đẩy nhiều nút hơn đến mức ba sẽ thêm các ràng buộc bổ sung cho đến khi chỉ có một mức cắt tối thiểu của mức hai.

Những điều đã nói ở trên cho thấy rằng biểu đồ chu trình là (ít nhất) một cực đại cục bộ của .$mc$

Hãy xem xét tập hợp các biểu đồ trong đó mỗi nút có độ ba. Loại bỏ một cạnh mang lại một biểu đồ với một lần cắt tối thiểu là hai. Thêm một cạnh, như trên, tạo ra hai nút xuất hiện nhiều nhất trên cùng một phía của vết cắt.

$k$$mc$$mc=n$$n-1$

Tôi đã không suy nghĩ quá nhiều về việc liệu có thể chính thức hóa những điều trên hay không, nhưng nó thể hiện một cách tiếp cận khả thi.

Ngoài ra, tôi nghĩ rằng bài báo Bixby mà Jelani Nelson đề cập trong phần bình luận cho câu trả lời của anh ta có tựa đề "Số lượng tối thiểu của các cạnh và các đỉnh trong một đồ thị có kết nối cạnh n và M n-bond" ( link )