Định lý PCP - Bước giảm bảng chữ cái

Những gì tiếp theo có vẻ ngu ngốc (và điều đó có thể phản ánh sự hiểu biết kém của tôi - vì vậy xin vui lòng chịu đựng với tôi)

Tôi đã có một truy vấn về định lý PCP. Chúng tôi biết rằng sau ba bước đầu tiên viz. Giảm mức độ, mở rộng và khuếch đại khoảng cách, chúng ta có một biểu đồ ràng buộc với khoảng cách được cải thiện và kích thước bảng chữ cái lớn (như Σ d t ). Đây là vấn đề mà các bước giảm bảng chữ cái giải quyết.$G$$\Sigma^{d^t}$

Câu hỏi của tôi là như được nêu trong bài giảng của Venkat Guruswami Giới thiệu về Thành phần , đối với tôi, ý tưởng cấp cao là thể hiện ràng buộc trên một cạnh e như một ràng buộc Boolean đối với các biến boolean. Điều này tự nó không đạt được gì và chúng ta cũng cần áp dụng việc giảm PCP, P e , trên cạnh này. Điều này "trông giống như" một cuộc gọi đệ quy của PCP và đây là lúc tôi bắt đầu hơi lo lắng. Có vẻ như lời gọi đệ quy này sẽ làm nổ tung kích thước bảng chữ cái một lần nữa.$c_e$$e$$P_e$

Các tác giả đã đưa ra một số lời giải thích bằng cách quan sát rằng đệ quy này có "trường hợp cơ sở" - cụ thể là - việc giảm PCP "bên trong" chỉ áp dụng cho các ràng buộc về kích thước không đổi.

(Bằng cách này, tôi hiểu rằng đệ quy bên trong chỉ được gọi khi chúng ta xem xét các ràng buộc trên một cạnh duy nhất là một ràng buộc nhị phân, nhưng tôi vẫn chưa vượt qua nỗi sợ rằng bằng cách nào đó chúng ta vẫn có thể làm nổ tung kích thước bảng chữ cái thay vì thu nhỏ nó). Đối với tôi, dường như sự lặp lại đệ quy của bước khuếch đại Gap sẽ chỉ làm cho vấn đề tồi tệ hơn bằng cách làm nổ kích thước bảng chữ cái trừ khi chúng ta kết hợp các biện pháp để xử lý trường hợp cơ bản khác đi một chút.$c_e$

Tôi hy vọng truy vấn của tôi (ngớ ngẩn như nó) có lẽ là rõ ràng. Xin vui lòng cho tôi biết những phần thiết yếu tôi đang thiếu (hoặc đã hiểu lầm).

Bạn đang hỏi về bằng chứng của Dinur về Định lý PCP. Bước giảm bảng chữ cái sử dụng một PCP, nhưng PCP có các tham số rất khác với thông số bạn xây dựng và bạn không nhất thiết phải sử dụng đệ quy để xây dựng nó. Đặc biệt, trong bằng chứng của Dinur, bởi vì PCP bên trong để giảm bảng chữ cái này được áp dụng cho đầu vào có kích thước không đổi, chúng tôi không quan tâm nếu nó có độ nổ lớn (nói theo cấp số nhân hoặc thậm chí nhiều hơn thế), điều này giúp dễ dàng đưa ra một trực tiếp xây dựng một PCP đủ tốt.

Toàn bộ bằng chứng bao gồm giai đoạn này được mô tả ở một số nơi (xem câu trả lời cho câu hỏi này ), và do đó bạn có thể tìm thấy một mô tả khác mà bạn thích hơn. Đặc biệt, trong sách giáo khoa phức tạp của tôi với Sanjeev Arora, điều này được đề cập trong Chương 11 và 22, chúng tôi cung cấp hai cách khác để đạt được bước giảm bảng chữ cái. Một là sử dụng PCP dựa trên Hadamard trong văn bản chính. Nhưng có lẽ biến thể tự chứa đơn giản nhất của nó là việc xây dựng trong Bài tập 22.5. Chúng tôi cũng có một bảng, trong Mục 22.2.1, cho biết chính xác bước nào của bằng chứng đối với kích thước bảng chữ cái (và các tham số khác như lỗi âm thanh, kích thước và số lượng truy vấn) và điều đó có thể làm bạn lo lắng.